Измерения и погрешности

Зачем это нужно

Ни одно измерение не бывает абсолютно точным. Линейка, весы, секундомер и даже лучшие лабораторные приборы дают результат с некоторой погрешностью. Учёный, инженер или врач должен понимать, насколько можно доверять числу: отличаются ли два результата на самом деле или разница меньше ошибки измерения? Число без указания погрешности почти ничего не говорит о реальном мире. Умение правильно оценить и записать погрешность нужно в каждой лабораторной работе, на ЕГЭ по физике и в любой экспериментальной науке.

Виды измерений и погрешностей

Прямое измерение — величину считывают с прибора (длина линейкой, время секундомером). Косвенное — величину вычисляют по формуле из прямо измеренных (плотность $\rho = \frac{m}{V}$).

Источники погрешностей:

• инструментальная (приборная) — ограниченная точность прибора; обычно её берут равной половине цены деления (для стрелочных приборов) или цене деления (для цифровых);
• случайная — разброс результатов повторных измерений из-за множества мелких неконтролируемых причин (реакция человека, вибрации);
• систематическая — постоянное смещение (неправильно настроенный прибор, забытая тара на весах). Её не устранить повторением — нужно найти причину.
• промах — грубая ошибка (неверно записали число). Такие результаты отбрасывают, но только если причина ошибки понятна.

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютная погрешность $\Delta x$ — граница, в которой лежит отклонение измеренного значения от истинного. Результат записывают так:

$x = x_{\text{изм}} \pm \Delta x.$

Относительная погрешность $\varepsilon = \frac{\Delta x}{x} \cdot 100\,\%$ показывает качество измерения. Ошибка 1 мм при измерении длины стола (0,1 %) и при измерении толщины монеты (50 %) — это совершенно разные по качеству измерения.

Правила записи: абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры (до двух, если первая — 1), а результат — до того же разряда. Неправильно: $l = 12{,}3456 \pm 0{,}1$ см. Правильно: $l = 12{,}3 \pm 0{,}1$ см.

Серия измерений

Если результаты повторных измерений разные, за результат берут среднее арифметическое, а случайную погрешность грубо оценивают как половину разброса: $\Delta x \approx \frac{x_{\max} - x_{\min}}{2}$. Точнее её оценивают через стандартное отклонение, как в статистике; эту технику подробно изучают в вузе.

Разобранный пример 1

Период маятника измерили 5 раз: 2,01; 1,98; 2,03; 1,99; 2,04 с. Запишите результат.

1. Среднее: $\frac{10{,}05}{5} = 2{,}01$ с.
2. $\Delta T \approx \frac{2{,}04 - 1{,}98}{2} = 0{,}03$ с.
3. $T = 2{,}01 \pm 0{,}03$ с, $\varepsilon \approx 1{,}5\,\%$.

Погрешности косвенных измерений

Разобранный пример 2

$m = 50 \pm 1$ г, $V = 20 \pm 0{,}5$ см³. Найдите плотность с погрешностью.

$\rho = 2{,}5$ г/см³. $\varepsilon = 2\,\% + 2{,}5\,\% = 4{,}5\,\%$, $\Delta\rho \approx 0{,}11 \approx 0{,}1$ г/см³. Ответ: $\rho = 2{,}5 \pm 0{,}1$ г/см³.

Разобранный пример 3

Сторона квадрата $a = 4{,}0 \pm 0{,}1$ см. Найдите площадь.

$S = 16$ см², $\varepsilon_a = 2{,}5\,\%$, $\varepsilon_S = 2 \cdot 2{,}5\,\% = 5\,\%$, $\Delta S = 0{,}8$ см². $S = 16{,}0 \pm 0{,}8$ см².

Как уменьшить погрешность

• Измерять сразу много периодов. Время 20 колебаний измеряют с той же ошибкой реакции, что и одного, а после деления на 20 ошибка периода уменьшается в 20 раз.
• Повторять измерения. Случайная погрешность среднего убывает примерно как $\frac{1}{\sqrt{n}}$: в 4 раза больше измерений — вдвое точнее.
• Выбирать подходящий прибор. Стрелочный прибор имеет класс точности — допустимую погрешность в процентах от предела шкалы. Амперметр класса 1,5 со шкалой до 5 А измеряет с погрешностью $0{,}015 \cdot 5 = 0{,}075$ А при любом показании. Поэтому измерять удобнее в правой части шкалы, где относительная погрешность меньше.

Сравнение результатов

Два результата согласуются, если их интервалы погрешностей пересекаются. Например, ученики получили $g = 9{,}7 \pm 0{,}2$ м/с² и $g = 9{,}9 \pm 0{,}1$ м/с²: интервалы $[9{,}5; 9{,}9]$ и $[9{,}8; 10{,}0]$ пересекаются, расхождения нет. А результат $9{,}2 \pm 0{,}1$ м/с² с табличным значением $9{,}81$ не согласуется — ищите систематическую ошибку.

Значащие цифры

Значащие цифры — все цифры числа, начиная с первой ненулевой слева. В числе $0{,}004050$ четыре значащие цифры: 4, 0, 5, 0 (последний нуль показывает точность). Результат вычислений не может быть точнее исходных данных: если длина известна с тремя значащими цифрами, писать ответ с семью цифрами с калькулятора бессмысленно.

Типичные ошибки

• Записывать результат с большим числом цифр, чем позволяет погрешность.
• Складывать абсолютные погрешности при умножении величин.
• Путать систематическую и случайную погрешность: систематическую не уменьшить повторением.
• Не отбрасывать явные промахи.
• Сравнивать результаты, не учитывая их погрешностей.

Что дальше

• Кинематика точки. Векторное описание движения — кинематика: измеряем движение.
• Выборка и статистический вывод — выборки и статистический вывод.