Кинематика точки. Векторное описание движения

Зачем это нужно

В 9 классе мы описывали движение вдоль одной прямой. Но самолёт летит в трёхмерном пространстве, футбольный мяч — по дуге, лодку сносит течение. Чтобы описывать такие движения, нужен язык векторов и координат. Он позволяет одинаково просто рассчитывать полёт мяча, курс корабля и траекторию спутника, а также пересчитывать скорость при переходе от одной системы отсчёта к другой. С этой темы начинается механика старшей школы, и её понятия понадобятся во всех следующих темах.

Положение точки и перемещение

Положение точки задают радиус-вектором $\vec{r}$ — вектором из начала координат в эту точку. Его проекции на оси — координаты $x$, $y$, $z$.

Перемещение за время $\Delta t$ — вектор, соединяющий начальное и конечное положения:

$\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1, \qquad \Delta x = x_2 - x_1, \ \Delta y = y_2 - y_1.$

Путь — длина траектории, скалярная величина, которая не может убывать со временем. Он не меньше модуля перемещения и равен ему только при движении по прямой в одном направлении.

Разобранный пример 1

Тело переместилось из точки (1; 2) в точку (4; 6) (м). Найдите модуль перемещения. $\Delta x = 3$, $\Delta y = 4$, $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{9 + 16} = 5$ м.

Скорость

Средняя скорость (по перемещению) $\vec{v}_{\text{ср}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$; средняя путевая скорость $v = \frac{l}{t}$. Мгновенная скорость — средняя скорость за очень малый промежуток времени; она направлена по касательной к траектории.

При равномерном прямолинейном движении $\vec{v} = \text{const}$, и уравнения движения в координатах:

$x = x_0 + v_x t, \qquad y = y_0 + v_y t, \qquad v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.$

Разобранный пример 2

Движение задано уравнениями $x = 5 + 3t$, $y = 4t$ (СИ). Найдите скорость и уравнение траектории.

$v_x = 3$, $v_y = 4$, $v = 5$ м/с. Из $t = \frac{y}{4}$: $x = 5 + \frac{3y}{4}$, то есть траектория — прямая $y = \frac{4}{3}(x - 5)$.

Относительность движения и сложение скоростей

Скорость, перемещение и траектория зависят от системы отсчёта. Закон сложения скоростей (Галилея): скорость тела относительно неподвижной системы равна векторной сумме его скорости относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы:

$\vec{v} = \vec{v}_{\text{отн}} + \vec{v}_{\text{пер}}.$

Разобранный пример 3 (переправа)

Лодка плывёт перпендикулярно берегу со скоростью 4 м/с относительно воды, течение 3 м/с, ширина реки 100 м. Найдите скорость относительно берега, время переправы и снос.

$v = \sqrt{16 + 9} = 5$ м/с. Время определяется поперечной скоростью: $t = \frac{100}{4} = 25$ с. Снос: $3 \cdot 25 = 75$ м.

Разобранный пример 4 (кратчайший путь)

Скорость лодки относительно воды 5 м/с, течение 3 м/с. Как держать курс, чтобы переплыть реку шириной 100 м строго поперёк, и сколько займёт переправа?

Лодку нужно направить под углом против течения так, чтобы составляющая скорости вдоль реки компенсировала течение. Тогда скорость относительно берега направлена поперёк и равна $\sqrt{25 - 9} = 4$ м/с, а переправа займёт $\frac{100}{4} = 25$ с.

Разобранный пример 5 (относительная скорость)

Два автомобиля едут навстречу со скоростями 20 и 15 м/с, расстояние 700 м. Через сколько они встретятся?

Относительная скорость $20 + 15 = 35$ м/с, $t = \frac{700}{35} = 20$ с.

Разобранный пример 6 (дождь)

Капли падают вертикально со скоростью 6 м/с. Автомобиль едет со скоростью 8 м/с. С какой скоростью капли бьют в стекло?

Относительно автомобиля капли имеют ещё горизонтальную скорость 8 м/с назад: $\sqrt{36 + 64} = 10$ м/с. Поэтому следы капель на боковых стёклах наклонные.

Средняя путевая скорость

Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей. Если автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — 40 км/ч, то при пути $2s$ время $\frac{s}{60} + \frac{s}{40} = \frac{s}{24}$, и средняя скорость $\frac{2s}{s/24} = 48$ км/ч, а не 50.

Немного истории

Галилей в «Диалоге о двух главнейших системах мира» (1632) описал опыт в каюте корабля: бабочки летают, капли падают в сосуд, рыбы плавают одинаково, стоит корабль или равномерно плывёт. Никакими опытами внутри каюты нельзя обнаружить равномерное движение корабля. Это принцип относительности Галилея — основа классической механики.

Типичные ошибки

• Путать путь и модуль перемещения.
• Складывать скорости как числа, а не как векторы.
• Считать время переправы по полной скорости, а не по составляющей поперёк реки.
• Забывать про знак проекции скорости при движении против оси.
• Думать, что траектория одинакова во всех системах отсчёта.

Что дальше

• Равноускоренное движение. Свободное падение. Баллистика — равноускоренное движение и баллистика.
• Движение по окружности. Кинематика твёрдого тела — движение по окружности.