Твёрдые тела. Деформации

Зачем это нужно

Из какой стали делать трос лифта и какой толщины? Почему стекло бьётся, а медь гнётся? Почему алмаз и графит, состоящие из одного и того же углерода, так непохожи? Знание строения и механических свойств твёрдых тел нужно инженерам, строителям, конструкторам самолётов и автомобилей, ортопедам и даже ювелирам. В этой теме мы свяжем молекулярное строение твёрдых тел с тем, как они растягиваются, сжимаются и ломаются.

Кристаллические и аморфные тела

Кристаллические тела — металлы, соль, лёд, кварц, алмаз — состоят из частиц, расположенных в строгом порядке: они образуют кристаллическую решётку, повторяющуюся во всех направлениях. Свойства кристаллов:

• имеют определённую температуру плавления;
• анизотропны: физические свойства зависят от направления (слюда легко расслаивается в одной плоскости, кристалл кварца по-разному проводит свет вдоль разных осей);
• бывают монокристаллами (один большой кристалл, как кристалл кварца) и поликристаллами (множество мелких, беспорядочно ориентированных кристалликов, как металлы). Поликристаллы в целом изотропны.

Свойства кристалла определяются не только сортом атомов, но и решёткой. Алмаз и графит — оба чистый углерод, но в алмазе атомы связаны прочной объёмной сеткой (самый твёрдый природный материал), а в графите — слоями, которые легко скользят друг по другу (поэтому карандаш пишет).

Аморфные тела — стекло, смола, воск, пластмассы — не имеют дальнего порядка; их строение похоже на «застывшую жидкость». Они изотропны и не имеют определённой температуры плавления: при нагревании постепенно размягчаются. Со временем аморфные тела могут кристаллизоваться: старое стекло мутнеет, засахаривается мёд.

Виды деформаций

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием сил. Основные виды: растяжение (трос, канат), сжатие (колонна, фундамент), сдвиг (заклёпка, болт), изгиб (балка, полка), кручение (вал двигателя). Изгиб сводится к растяжению с одной стороны и сжатию с другой, кручение — к сдвигу.

Деформация упругая, если после снятия нагрузки тело полностью восстанавливает форму (пружина, резинка). Пластическая (остаточная) деформация сохраняется (пластилин, согнутая проволока). Одно и то же тело при малых нагрузках деформируется упруго, а при больших — пластически.

Механическое напряжение и закон Гука

При растяжении стержня длиной $l_0$ и площадью сечения $S$ силой $F$ вводят:

• механическое напряжение $\sigma = \frac{F}{S}$ (Па);
• относительное удлинение $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}$ (безразмерно).

Закон Гука: при малых деформациях напряжение пропорционально относительному удлинению:

$\sigma = E \varepsilon,$

где $E$ — модуль Юнга, характеристика материала. Для стали $E \approx 2 \cdot 10^{11}$ Па, для меди $1{,}2 \cdot 10^{11}$ Па, для алюминия $7 \cdot 10^{10}$ Па, для резины около $10^6$ Па. Сравнив с $F = k\Delta l$, получаем жёсткость стержня:

$k = \frac{ES}{l_0}.$

Длинный тонкий стержень мягче короткого толстого.

Разобранный пример 1

Стальная проволока длиной 2 м и сечением 1 мм² растянута силой 200 Н. Найдите напряжение, относительное и абсолютное удлинение.

1. $\sigma = \frac{200}{10^{-6}} = 2 \cdot 10^8$ Па.
2. $\varepsilon = \frac{2 \cdot 10^8}{2 \cdot 10^{11}} = 10^{-3}$.
3. $\Delta l = 10^{-3} \cdot 2 = 2$ мм.

Разобранный пример 2

Найдите жёсткость этой проволоки.

$k = \frac{2 \cdot 10^{11} \cdot 10^{-6}}{2} = 10^5$ Н/м. Проверка: $200 : 10^5 = 2$ мм.

Диаграмма растяжения

Если растягивать образец металла всё сильнее и строить график $\sigma(\varepsilon)$, получится диаграмма растяжения.

• Предел пропорциональности $\sigma_{пц}$ — до него выполняется закон Гука.
• Предел упругости $\sigma_{упр}$ — до него деформация исчезает после снятия нагрузки.
• Текучесть — образец удлиняется почти без роста нагрузки.
• Предел прочности $\sigma_{пч}$ — наибольшее напряжение, которое выдерживает материал. Дальше образец образует «шейку» и рвётся.

Пластичные материалы (медь, мягкая сталь, свинец) имеют большую область пластических деформаций. Хрупкие (стекло, чугун, бетон на растяжение) разрушаются почти сразу после предела упругости.

Конструкции рассчитывают с запасом прочности $n = \frac{\sigma_{пч}}{\sigma_{доп}}$ — во сколько раз реальное напряжение меньше предела прочности. Для тросов лифтов $n$ около 10.

Разобранный пример 3

Предел прочности стали $5 \cdot 10^8$ Па. Какой наибольший груз можно подвесить на трос сечением 1 см² при запасе прочности 5?

$F = \frac{\sigma_{пч} S}{n} = \frac{5 \cdot 10^8 \cdot 10^{-4}}{5} = 10^4$ Н — груз массой 1 т.

Почему тела упруги

Атомы в решётке находятся в положениях, где силы притяжения и отталкивания уравновешены. При растяжении расстояния чуть увеличиваются, и преобладает притяжение; при сжатии — отталкивание. Эти молекулярные силы и есть сила упругости. Пластическая деформация — это сдвиг целых слоёв атомов, который происходит благодаря дефектам решётки (дислокациям).

Типичные ошибки

• Путать напряжение $\sigma = F/S$ с давлением на поверхность и с силой.
• Забывать переводить мм² в м² ($1$ мм² $= 10^{-6}$ м²).
• Считать, что закон Гука выполняется при любых нагрузках.
• Путать жёсткость тела $k$ (зависит от размеров) и модуль Юнга $E$ (свойство материала).
• Считать стекло кристаллом.

Что дальше

• Первый закон термодинамики — внутренняя энергия и первый закон термодинамики.
• Механика сплошных сред — механика сплошных сред.