Температура и энергия теплового движения

Зачем это нужно

Слово «температура» мы слышим каждый день: в прогнозе погоды, у врача, на кухне. Но что это такое с точки зрения физики? Почему не бывает температуры ниже −273 °C, а сколь угодно высокая бывает? С какой скоростью летают молекулы воздуха вокруг нас? В этой теме мы свяжем привычную «теплоту на ощупь» с движением молекул и получим одну из важнейших формул молекулярной физики: температура — мера средней кинетической энергии молекул.

Тепловое равновесие

Опустите горячую ложку в холодную воду: ложка остывает, вода нагревается, и через некоторое время изменения прекращаются. Наступает тепловое равновесие — состояние, в котором все макроскопические параметры (давление, объём, температура) перестают меняться. Любая изолированная система со временем приходит в тепловое равновесие.

Температура — величина, которая одинакова у всех тел, находящихся в тепловом равновесии. Именно поэтому работает термометр: приведённый в контакт с телом, он через некоторое время принимает его температуру и показывает её.

Температурные шкалы

Чтобы измерять температуру, нужна шкала. Андерс Цельсий (1742) взял две опорные точки — таяние льда (0 °C) и кипение воды при нормальном давлении (100 °C) — и разделил промежуток на 100 частей.

Но у шкалы Цельсия есть недостаток: её нуль выбран произвольно. Опыты с газами показали, что при охлаждении давление разреженного газа (при постоянном объёме) уменьшается линейно и обратилось бы в ноль при $-273{,}15$ °C. Ниже этой температуры охладить ничего нельзя — это абсолютный нуль. Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1848 году предложил абсолютную шкалу: нуль — абсолютный нуль, а цена деления та же, что у Цельсия.

$T = t + 273, \qquad \Delta T = \Delta t.$

Единица абсолютной температуры — кельвин (К), одна из семи основных единиц СИ.

Шкалы Цельсия и Кельвина рядом: абсолютный нуль, таяние льда, температура тела, кипение воды

Разобранный пример 1

Переведите в кельвины 27 °C и −73 °C. На сколько кельвинов нагрелось тело, если его температура выросла с 20 °C до 50 °C?

$27 + 273 = 300$ К; $-73 + 273 = 200$ К.
$\Delta T = \Delta t = 30$ К — разности в обеих шкалах одинаковы.

Температура и энергия молекул

Сравним основное уравнение МКТ $p = \frac{2}{3} n \overline{E}_к$ с опытом: для любого разреженного газа давление при постоянной концентрации пропорционально абсолютной температуре. Отсюда следует фундаментальное соотношение:

$\overline{E}_к = \frac{3}{2} k T,$

где $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул не зависит от сорта газа — только от температуры. При абсолютном нуле тепловое (поступательное) движение молекул прекратилось бы.

Подставив это в основное уравнение МКТ, получаем удобную формулу:

$p = n k T.$

Разобранный пример 2

Найдите среднюю кинетическую энергию молекулы воздуха при 27 °C.

$\overline{E}_к = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \approx 6{,}2 \cdot 10^{-21}$ Дж.

Разобранный пример 3

Сколько молекул газа в 1 м³ при нормальных условиях ( $p = 1{,}01 \cdot 10^5$ Па, $T = 273$ К)?

$n = \frac{p}{kT} = \frac{1{,}01 \cdot 10^5}{1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 273} \approx 2{,}7 \cdot 10^{25}$ м⁻³ — это число Лошмидта, одинаковое для всех газов.

Скорости молекул

Из $\frac{m_0 \overline{v^2}}{2} = \frac{3}{2}kT$ находим среднюю квадратичную скорость:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}},$

где $R = k N_A = 8{,}31$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная. Лёгкие молекулы при той же температуре движутся быстрее.

Разобранный пример 4

Найдите среднюю квадратичную скорость молекул азота ( $M = 0{,}028$ кг/моль) и водорода ( $M = 0{,}002$ кг/моль) при 300 К.

Азот: $\sqrt{\frac{3 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{0{,}028}} \approx 517$ м/с — быстрее пули из пистолета.
Водород: $\approx 1930$ м/с, в $\sqrt{14} \approx 3{,}7$ раза больше.

Вот почему лёгкий водород и гелий постепенно улетучиваются из атмосферы Земли в космос, а у Луны атмосферы нет вовсе.

Опыт Штерна

Скорости молекул впервые измерил Отто Штерн в 1920 году. Внутри откачанного цилиндра вдоль оси натягивалась посеребрённая платиновая нить; при нагревании атомы серебра вылетали и через узкую щель во внутреннем цилиндре попадали на внешний. Когда вся установка вращалась, пока атомы летели, внешний цилиндр успевал повернуться, и полоска серебра смещалась. По смещению, радиусам и частоте вращения Штерн вычислил скорость — несколько сотен метров в секунду, в согласии с теорией. Полоска оказалась размытой: молекулы движутся с разными скоростями, их распределение описал Максвелл.

Почему не бывает ниже абсолютного нуля

Температура — мера средней энергии хаотического движения. Энергия не может быть меньше нуля, поэтому и температура не может быть ниже 0 К. Учёные приблизились к абсолютному нулю на миллиардные доли кельвина, но достичь его невозможно (третье начало термодинамики). Верхнего же предела нет: в центре Солнца около 15 миллионов кельвинов.

Типичные ошибки

Подставлять в формулы температуру в градусах Цельсия вместо кельвинов.
Думать, что изменение температуры в кельвинах отличается от изменения в градусах Цельсия.
Считать, что при одинаковой температуре молекулы разных газов имеют одинаковые скорости. Одинаковы средние энергии, а скорости зависят от массы.
Путать постоянную Больцмана $k$ и универсальную газовую постоянную $R$ .

Что дальше

Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы — уравнение состояния идеального газа и изопроцессы.