Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы

Зачем это нужно

Почему шины накачивают сильнее зимой, а баллон с газом нельзя оставлять на солнце? Как рассчитать, сколько воздуха в комнате, сколько кислорода в баллоне аквалангиста, какой подъёмной силой обладает воздушный шар? Всё это решает одно уравнение, связывающее давление, объём и температуру газа. Его используют инженеры двигателей и холодильников, метеорологи, химики, врачи-анестезиологи.

Параметры состояния

Состояние данной массы газа описывают три макроскопических параметра: давление $p$ (Па), объём $V$ (м³) и абсолютная температура $T$ (К). Они не независимы: если задать два из них, третий определится сам. Связь между ними называют уравнением состояния.

Уравнение Менделеева–Клапейрона

Из формулы $p = nkT$ с $n = \frac{N}{V}$ и $N = \nu N_A$ получаем, учитывая $R = k N_A$:

$pV = \frac{m}{M} R T = \nu R T,$

где $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Это уравнение Менделеева–Клапейрона. Важно: оно верно для любого разреженного газа, и в него входит только молярная масса.

Если масса газа не меняется, то $\frac{pV}{T} = \nu R = \text{const}$:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

— уравнение Клапейрона (объединённый газовый закон).

Разобранный пример 1

Какой объём занимает 1 моль газа при нормальных условиях ($p = 1{,}01 \cdot 10^5$ Па, $T = 273$ К)?

$V = \frac{RT}{p} = \frac{8{,}31 \cdot 273}{1{,}01 \cdot 10^5} \approx 0{,}0224$ м³ $= 22{,}4$ л — знакомый по химии молярный объём.

Разобранный пример 2

Найдите массу воздуха в комнате $5 \times 4 \times 3$ м при 20 °C и давлении $10^5$ Па ($M = 0{,}029$ кг/моль).

$m = \frac{pVM}{RT} = \frac{10^5 \cdot 60 \cdot 0{,}029}{8{,}31 \cdot 293} \approx 71$ кг — больше массы взрослого человека!

Изопроцессы

Процессы, в которых один из параметров постоянен, называют изопроцессами. Масса газа при этом не меняется.

Изотермический процесс: при сжатии газа его давление растёт обратно пропорционально объёму. Так работает поршень шприца или велосипедного насоса (если сжимать медленно, чтобы газ не нагрелся).

Изобарный процесс: при нагревании газ расширяется пропорционально абсолютной температуре. Так нагревается воздух в воздушном шаре.

Изохорный процесс: в закрытом жёстком сосуде давление растёт пропорционально абсолютной температуре. Поэтому баллоны нельзя нагревать.

Как читать графики. Изотерма с большей температурой лежит выше. Изохора идёт круче, если объём меньше (при той же температуре давление больше). Изобара идёт круче, если давление меньше. Вблизи нуля прямые рисуют пунктиром: при очень низких температурах газ перестаёт быть идеальным и сжижается.

Разобранный пример 3

Газ медленно сжали от 6 л до 2 л при постоянной температуре. Начальное давление $10^5$ Па. Найдите конечное.

$p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} = 3 \cdot 10^5$ Па.

Разобранный пример 4

Шину накачали до $2 \cdot 10^5$ Па при 7 °C. На солнце она нагрелась до 35 °C. Каким стало давление (объём не меняется)?

$p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 2 \cdot 10^5 \cdot \frac{308}{280} = 2{,}2 \cdot 10^5$ Па. Температуру обязательно переводим в кельвины!

Разобранный пример 5

Газ при постоянном давлении нагрели от 27 °C до 127 °C. Начальный объём 3 л. Найдите конечный.

$V_2 = 3 \cdot \frac{400}{300} = 4$ л.

Разобранный пример 6

Газ при $10^5$ Па, 10 л и 300 К перевели в состояние с давлением $2 \cdot 10^5$ Па и температурой 450 К. Найдите объём.

$V_2 = V_1 \cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 = 7{,}5$ л.

Закон Дальтона

Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений — тех, которые создавал бы каждый газ, занимая весь сосуд один:

$p = p_1 + p_2 + \ldots$

Например, в воздухе при давлении $10^5$ Па парциальное давление кислорода около $0{,}21 \cdot 10^5$ Па. Высоко в горах оно меньше, и дышать труднее.

Немного истории

Роберт Бойль изучал сжатие воздуха в изогнутой трубке, заполняя её ртутью. Жозеф Гей-Люссак поднимался на воздушном шаре на высоту 7 км, исследуя атмосферу. Уравнение $pV = \text{const} \cdot T$ записал Эмиль Клапейрон в 1834 году, а Дмитрий Иванович Менделеев в 1874 году придал ему универсальный вид с газовой постоянной $R$ для одного моля.

Типичные ошибки

• Подставлять температуру в градусах Цельсия.
• Использовать литры и граммы без перевода в СИ в уравнении Менделеева–Клапейрона (в уравнении Клапейрона с отношениями единицы объёма можно не переводить).
• Применять изопроцессы, когда меняется масса газа (баллон протекает, шину подкачивают).
• Путать, какая изохора или изобара идёт выше на графике.

Что дальше

• Насыщенный пар. Влажность. Поверхностное натяжение — насыщенный пар и влажность.
• Первый закон термодинамики — работа газа и первый закон термодинамики.
• Молекулярная физика. Распределения Максвелла и Больцмана — распределения Максвелла и Больцмана.