Механические волны. Звук

Зачем это нужно

Волны переносят энергию и информацию без переноса вещества: так доходит до нас звук, так распространяются сейсмические волны землетрясений, так «видят» летучие мыши и эхолоты, так работает УЗИ. В 9 классе мы познакомились с волнами и звуком. Теперь опишем волну математически — уравнением, — разберём сложение волн (интерференцию), стоячие волны, на которых построены все музыкальные инструменты, и эффект Доплера, которым пользуются полиция, врачи и астрономы.

Уравнение бегущей волны

Если источник колеблется по закону $y = A\cos\omega t$, то точка среды на расстоянии $x$ повторяет его колебания с запаздыванием $\frac{x}{v}$:

$y(x, t) = A\cos\omega\left(t - \frac{x}{v}\right) = A\cos(\omega t - kx),$

где $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число. Напомним связь: $v = \lambda\nu = \frac{\lambda}{T}$. Разность фаз колебаний двух точек на расстоянии $\Delta x$ вдоль луча:

$\Delta\varphi = \frac{2\pi\Delta x}{\lambda}.$

Точки на расстоянии $\lambda$ колеблются одинаково (в фазе), на расстоянии $\frac{\lambda}{2}$ — в противофазе.

Разобранный пример 1

Найдите длину звуковой волны ноты «ля» (440 Гц) в воздухе ($v = 340$ м/с) и разность фаз точек, отстоящих на 0,5 м при $\lambda = 2$ м.

1. $\lambda = \frac{340}{440} \approx 0{,}77$ м.
2. $\Delta\varphi = \frac{2\pi \cdot 0{,}5}{2} = \frac{\pi}{2}$ — сдвиг на четверть периода.

Интерференция

Когда две волны приходят в одну точку, их смещения складываются (принцип суперпозиции). Если источники когерентны (одинаковая частота и постоянная разность фаз), возникает устойчивая картина интерференции: в одних точках волны усиливают друг друга, в других — гасят.

Для синфазных источников при разности хода $\Delta d$:

• максимум: $\Delta d = m\lambda$ (целое число волн);
• минимум: $\Delta d = (2m + 1)\frac{\lambda}{2}$ (нечётное число полуволн).

На интерференции основаны наушники с активным шумоподавлением: микрофон улавливает шум, а динамик излучает такую же волну в противофазе.

Разобранный пример 2

Два синфазных динамика излучают звук с длиной волны 0,85 м. Слушатель находится на 1,7 м дальше от одного из них. Что он услышит?

$\Delta d = 1{,}7 = 2\lambda$ — целое число волн, максимум: звук громкий.

Дифракция

Дифракция — огибание волнами препятствий. Она заметна, когда размер препятствия или щели сравним с длиной волны. Звук (длина волны — метры) огибает дома и деревья, поэтому мы слышим людей за углом; низкие звуки огибают лучше высоких — из-за стены доносятся именно басы.

Стоячие волны

Если волна отражается от закреплённого конца, прямая и отражённая волны интерферируют и образуют стоячую волну. В ней есть неподвижные точки — узлы — и точки максимального размаха — пучности; соседние узлы отстоят на $\frac{\lambda}{2}$.

На струне длиной $L$ с закреплёнными концами укладывается целое число полуволн: $L = n\frac{\lambda}{2}$. Отсюда возможные частоты

$\nu_n = \frac{nv}{2L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$

Самая низкая ($n = 1$) — основной тон, остальные — обертоны (гармоники). Набор обертонов определяет тембр: поэтому скрипка и флейта, играющие одну ноту, звучат по-разному.

Разобранный пример 3

Струна длиной 0,5 м, скорость волн в ней 200 м/с. Найдите основной тон и вторую гармонику.

$\nu_1 = \frac{200}{2 \cdot 0{,}5} = 200$ Гц, $\nu_2 = 400$ Гц. Прижав струну пальцем посередине, гитарист укорачивает её вдвое и повышает звук на октаву.

Эффект Доплера

Если источник звука движется к наблюдателю со скоростью $u$, гребни волн «сжимаются», и воспринимаемая частота растёт; при удалении — падает:

$\nu' = \nu\frac{v}{v \mp u}$

(минус — источник приближается, плюс — удаляется). Так меняется тон сирены проезжающей «скорой».

Разобранный пример 4

Сирена частотой 500 Гц движется со скоростью 34 м/с. Какую частоту слышит неподвижный наблюдатель при приближении и удалении машины?

При приближении $500 \cdot \frac{340}{306} \approx 556$ Гц, при удалении $500 \cdot \frac{340}{374} \approx 455$ Гц — разница почти в целый тон.

Эффект Доплера используют радары ГИБДД, ультразвуковая диагностика кровотока, а для света — астрономы, измеряя скорости звёзд и галактик (красное смещение).

Немного истории

Кристиан Доплер предсказал эффект в 1842 году для света звёзд. Проверка со звуком в 1845 году была эффектной: трубачи играли одну ноту на открытой платформе поезда, а музыканты с абсолютным слухом на перроне отмечали, как меняется её высота.

Типичные ошибки

• Путать разность хода $\Delta d$ и разность фаз $\Delta\varphi$.
• Считать, что для интерференционного минимума нужна разность хода $\lambda$, а не $\frac{\lambda}{2}$.
• Забывать, что расстояние между соседними узлами — половина длины волны.
• Думать, что эффект Доплера меняет громкость: меняется частота (высота тона).

Что дальше

• Электромагнитные волны. Радиосвязь — электромагнитные волны.
• Волны. Акустика — волны и акустика в общем курсе физики.