Перейти к содержимому
RanimusВетвь разума
ВойтиРегистрация

Механические колебания. Гармонический закон

Уравнение гармонических колебаний, фаза, скорость и ускорение как производные, превращения энергии, вынужденные колебания, резонанс.

ДоступнаСложность: ★★★★☆Время: 80 минЗа прохождение: 150 (с первой попытки 180)
Пройти тест Пропустить тему

Пожаловаться

ТеорияТестДомашняя работа3Самоконтроль3

Зачем это нужно

Колебания — один из самых распространённых видов движения: качаются маятники и ветви деревьев, вибрируют струны и мембраны динамиков, колеблются атомы в кристаллах, бьётся сердце. Удивительно, что множество разных колебательных систем описывается одним и тем же законом — гармоническим. Освоив его на механических примерах, мы сразу получим ключ к электромагнитным колебаниям, переменному току, волнам и свету. А математически здесь работают производные, которые вы только что изучили.

Свободные колебания

Колебания — движения, которые точно или приблизительно повторяются через равные промежутки времени. Свободные колебания происходят в системе, выведенной из равновесия и предоставленной самой себе. Для них нужны: положение устойчивого равновесия, возвращающая сила и малое трение. Классические примеры — пружинный маятник (груз на пружине) и математический маятник (малый грузик на длинной нерастяжимой нити).

Гармонический закон

Если возвращающая сила пропорциональна смещению (F=−kxF = -kx), координата меняется по закону косинуса или синуса:

x(t)=Acos⁡(ωt+φ0).x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0).

  • AA — амплитуда, наибольшее отклонение от равновесия;
  • ωt+φ0\omega t + \varphi_0 — фаза, определяет состояние системы в момент tt; φ0\varphi_0 — начальная фаза;
  • ω\omega — циклическая частота (рад/с);
  • T=2πωT = \frac{2\pi}{\omega} — период, время одного полного колебания;
  • ν=1T=ω2π\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} — частота, число колебаний в секунду (Гц).

Колебания и движение по окружности. Представьте точку, равномерно бегущую по окружности радиуса AA с угловой скоростью ω\omega. Её тень на диаметр (проекция на ось xx) движется точно по закону x=Acos⁡ωtx = A\cos\omega t. Отсюда и название «циклическая частота»: это угловая скорость воображаемого вращения, а фаза — угол поворота.

Скорость и ускорение

Дифференцируя закон движения, получаем:

v=x′=−Aωsin⁡(ωt+φ0),a=v′=−Aω2cos⁡(ωt+φ0)=−ω2x.v = x' = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0), \qquad a = v' = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x.

Амплитуды скорости и ускорения: vmax=Aωv_{max} = A\omega, amax=Aω2a_{max} = A\omega^2. Скорость максимальна в положении равновесия и равна нулю в крайних точках; ускорение — наоборот. Скорость опережает координату по фазе на четверть периода, а ускорение находится в противофазе с координатой.

Уравнение a=−ω2xa = -\omega^2 x, или x′′=−ω2xx'' = -\omega^2 x, — уравнение гармонических колебаний. Любая система, движение которой описывается им, колеблется гармонически.

Графики координаты, скорости и ускорения при гармонических колебаниях на двух периодах

Разобранный пример 1

Координата меняется по закону x=0,05cos⁡4πtx = 0{,}05\cos 4\pi t (м). Найдите амплитуду, частоту, период, максимальные скорость и ускорение.

  1. A=0,05A = 0{,}05 м, ω=4π\omega = 4\pi рад/с, ν=2\nu = 2 Гц, T=0,5T = 0{,}5 с.
  2. vmax=0,05⋅4π≈0,63v_{max} = 0{,}05 \cdot 4\pi \approx 0{,}63 м/с.
  3. amax=0,05⋅16π2≈7,9a_{max} = 0{,}05 \cdot 16\pi^2 \approx 7{,}9 м/с².

Разобранный пример 2

Какова координата через T8\frac{T}{8} после начала колебаний по закону x=Acos⁡ωtx = A\cos\omega t?

Фаза ω⋅T8=π4\omega \cdot \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4}, x=Acos⁡π4≈0,71Ax = A\cos\frac{\pi}{4} \approx 0{,}71A — за восьмую часть периода тело прошло лишь 29 % пути до равновесия.

Пружинный и математический маятники

Для груза на пружине по второму закону Ньютона ma=−kxma = -kx, то есть a=−kmxa = -\frac{k}{m}x:

ω=km,T=2πmk.\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Для математического маятника при малых углах (до 10–15°) возвращающая сила −mgxl-mg\frac{x}{l}:

ω=gl,T=2πlg.\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.

Период не зависит от амплитуды (при малых колебаниях) — изохронность, открытая Галилеем. При больших углах период немного растёт. Период математического маятника не зависит и от массы.

Разобранный пример 3

Груз 0,4 кг на пружине жёсткостью 40 Н/м. Найдите период.

ω=100=10\omega = \sqrt{100} = 10 рад/с, T=2π10≈0,63T = \frac{2\pi}{10} \approx 0{,}63 с.

Разобранный пример 4

Маятник длиной 2,5 м. Найдите период на Земле и на Луне (gЛ=1,6g_Л = 1{,}6 м/с²).

На Земле T=2π0,25=π≈3,14T = 2\pi\sqrt{0{,}25} = \pi \approx 3{,}14 с; на Луне 2π2,51,6≈7,852\pi\sqrt{\frac{2{,}5}{1{,}6}} \approx 7{,}85 с — в 2,5 раза дольше.

Разобранный пример 5

Как изменить длину маятника, чтобы его период удвоился?

T∼lT \sim \sqrt{l}, поэтому длину нужно увеличить в четыре раза.

Энергия колебаний

Без трения полная энергия сохраняется: kx22+mv22=kA22\frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = \frac{kA^2}{2}. Потенциальная и кинетическая энергии колеблются с частотой 2ω2\omega — вдвое большей частоты колебаний. Подробнее о затухании, вынужденных колебаниях и резонансе — в теме «Энергия колебаний и резонанс».

Немного истории

По легенде, Галилео Галилей, наблюдая за раскачивающейся люстрой в Пизанском соборе и сверяя её с собственным пульсом, заметил, что период не зависит от размаха. Христиан Гюйгенс в 1657 году построил первые точные маятниковые часы и вывел формулу периода. Почти триста лет маятник оставался главным хранителем времени.

Типичные ошибки

  • Путать циклическую частоту ω\omega и частоту ν\nu: ω=2πν\omega = 2\pi\nu.
  • Считать, что период маятника зависит от массы груза или амплитуды малых колебаний.
  • Забывать, что ускорение направлено к положению равновесия: a=−ω2xa = -\omega^2 x.
  • Подставлять в тригонометрические функции фазу в градусах при ω\omega в рад/с.

Что дальше