Нормальное распределение и стандартизация

Зачем это нужно

Рост людей, ошибки измерений, размеры деталей с одного станка, баллы за большой экзамен, давление крови — у всех этих величин гистограмма похожа на один и тот же симметричный колокол. Это нормальное распределение (распределение Гаусса) — самое важное в статистике. На нём основаны контроль качества («шесть сигм»), оценка точности экспериментов, интерпретация результатов тестов и медицинских анализов, расчёт рисков. Научившись работать с ним, вы сможете ответить, насколько необычен тот или иной результат.

Плотность нормального распределения

Нормальное распределение задают два параметра: среднее $\mu$ и стандартное отклонение $\sigma$. Его плотность:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}.$

Свойства кривой:

• симметрична относительно $x = \mu$; среднее, медиана и мода совпадают;
• максимум в точке $\mu$; чем меньше $\sigma$, тем выше и уже колокол;
• точки перегиба — $\mu \pm \sigma$;
• площадь под всей кривой равна 1, а ветви уходят в бесконечность, приближаясь к оси.

Правило трёх сигм

Для любого нормального распределения:

• в интервал $\mu \pm \sigma$ попадает около 68 % значений;
• в $\mu \pm 2\sigma$ — около 95 %;
• в $\mu \pm 3\sigma$ — около 99,7 %.

Значение за пределами трёх сигм случается примерно раз из 370 — на практике его считают почти невозможным или подозревают ошибку.

Разобранный пример 1

Рост юношей распределён нормально: $\mu = 176$ см, $\sigma = 7$ см. Какая доля имеет рост от 169 до 183 см? Выше 190 см?

1. 169–183 — это $\mu \pm \sigma$: около 68 %.
2. 190 = $\mu + 2\sigma$. Вне $\pm 2\sigma$ лежит 5 %, по симметрии выше — половина: около 2,5 % (точнее 2,3 %).

Стандартизация и z-оценка

Любое нормальное распределение сводится к стандартному ($\mu = 0$, $\sigma = 1$) заменой

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}.$

Число $z$ (z-оценка) показывает, на сколько стандартных отклонений значение отклоняется от среднего. Вероятности для стандартного распределения дают таблицы функции $\Phi(z) = P(Z \le z)$:

Для отрицательных $z$: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$.

Разобранный пример 2

IQ распределён нормально с $\mu = 100$, $\sigma = 15$. Какая доля людей имеет IQ выше 130?

$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$; $P = 1 - \Phi(2) \approx 0{,}023$ — около 2,3 %.

Разобранный пример 3

Ученик набрал 80 баллов по математике (средний балл класса 70, $\sigma = 5$) и 85 по физике (средний 80, $\sigma = 10$). Где результат лучше относительно класса?

$z_{мат} = \frac{80 - 70}{5} = 2$, $z_{физ} = \frac{85 - 80}{10} = 0{,}5$. По математике результат гораздо более выдающийся, хотя баллов меньше.

Разобранный пример 4

Длина деталей нормальна: $\mu = 50$ мм, $\sigma = 0{,}1$ мм. Какая доля деталей короче 49,85 мм?

$z = \frac{49{,}85 - 50}{0{,}1} = -1{,}5$; $P = \Phi(-1{,}5) = 1 - 0{,}933 = 0{,}067$ — почти 7 % брака.

Как решать задачи

1. Убедиться, что распределение можно считать нормальным, и выписать $\mu$ и $\sigma$.
2. Перевести границы интервала в z-оценки.
3. Найти вероятности по таблице $\Phi$ или по правилу трёх сигм.
4. Для интервала $a < X < b$: $P = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$.

Обратная задача — найти значение по заданной доле. Например, какой IQ нужен, чтобы войти в верхние 10 %? По таблице $\Phi(z) = 0{,}9$ при $z \approx 1{,}28$, значит $x = 100 + 1{,}28 \cdot 15 \approx 119$.

Почему распределение «нормальное»

Если величина складывается из многих независимых малых случайных влияний, её распределение близко к нормальному, каким бы ни было распределение каждого слагаемого. Это центральная предельная теорема. Её наглядно показывает доска Гальтона: шарики, отскакивая влево-вправо от множества гвоздиков, собираются внизу в колокол.

В частности, биномиальное распределение при большом $n$ приближённо нормально с $\mu = np$ и $\sigma = \sqrt{npq}$ (теорема Муавра–Лапласа).

Разобранный пример 5

Монету бросают 100 раз. Оцените вероятность, что орлов будет от 40 до 60.

$\mu = 50$, $\sigma = \sqrt{25} = 5$; 40–60 — это $\mu \pm 2\sigma$, вероятность около 95 %.

Немного истории

Кривую впервые получил Абрахам де Муавр (1733) как приближение биномиального распределения. Карл Фридрих Гаусс (1809) применил её к ошибкам астрономических наблюдений, отсюда название «гауссиана». Адольф Кетле в XIX веке обнаружил, что ей подчиняются рост и обхват груди солдат, и ввёл понятие «среднего человека».

Типичные ошибки

• Применять правило трёх сигм к явно несимметричным распределениям (доходы, время ожидания).
• Путать $\sigma$ и дисперсию $\sigma^2$ при вычислении $z$.
• Забывать симметрию: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$, $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$.
• Считать, что значения за $3\sigma$ невозможны: они редки, но бывают.

Что дальше

• Выборка и статистический вывод — выборка и статистический вывод.
• Доверительные интервалы и проверка гипотез — доверительные интервалы и проверка гипотез.
• Центральная предельная теорема на прикладном уровне — центральная предельная теорема.