Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Зачем это нужно

Распределение описывает случайную величину полностью, но часто громоздко. На практике хватает двух чисел: где в среднем лежат значения (математическое ожидание) и насколько они разбросаны (дисперсия). Так оценивают доходность и риск инвестиций, точность станка, выгодность игры или страховки, качество прогноза. В 9 классе мы научились считать эти величины по таблице. Теперь изучим их свойства: они позволяют находить характеристики сложных величин, не составляя громоздких таблиц.

Математическое ожидание

Для дискретной величины:

$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n.$

Это «центр тяжести» распределения: если поставить на числовую ось грузики массами $p_i$ в точках $x_i$, ось уравновесится в точке $E(X)$. По закону больших чисел среднее арифметическое результатов многих независимых опытов приближается к $E(X)$.

Для равномерного распределения на $[a; b]$ ожидание — середина отрезка: $E(X) = \frac{a + b}{2}$.

Разобранный пример 1

Найдите ожидание числа очков на игральном кубике.

$E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5$. Само значение 3,5 никогда не выпадает — ожидание не обязано быть возможным значением.

Свойства математического ожидания

1. $E(C) = C$ для постоянной.
2. $E(aX + b) = aE(X) + b$.
3. $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ — для любых величин, даже зависимых!
4. $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$ — только для независимых.

Свойство 3 (линейность) — мощнейший инструмент: сложную величину раскладывают в сумму простых.

Разобранный пример 2

Найдите ожидание суммы очков на двух кубиках и числа успехов в схеме Бернулли.

1. Сумма: $3{,}5 + 3{,}5 = 7$ — без таблицы из 36 исходов.
2. Число успехов $X$ в $n$ испытаниях — сумма индикаторов $X_1 + \ldots + X_n$, где $X_i = 1$ при успехе в $i$-м испытании. Каждый $E(X_i) = p$, поэтому $E(X) = np$.

Дисперсия

Дисперсия — ожидание квадрата отклонения от среднего:

$D(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.$

Вторая формула обычно удобнее. Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{D(X)}$ измеряется в тех же единицах, что и $X$.

Разобранный пример 3

Найдите дисперсию числа очков на кубике.

$E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$; $D(X) = \frac{91}{6} - 3{,}5^2 = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$, $\sigma \approx 1{,}71$.

Свойства дисперсии

1. $D(C) = 0$; $D(X) \ge 0$.
2. $D(X + b) = D(X)$ — сдвиг не меняет разброс.
3. $D(aX) = a^2 D(X)$, значит $\sigma(aX) = |a|\sigma(X)$.
4. $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ — только для независимых величин.

Отсюда для биномиального распределения (сумма $n$ независимых индикаторов с $D(X_i) = p - p^2 = pq$):

$E(X) = np, \qquad D(X) = npq.$

Разобранный пример 4

Известно $E(X) = 5$, $D(X) = 4$. Найдите ожидание и дисперсию $Y = 3X - 2$.

$E(Y) = 3 \cdot 5 - 2 = 13$, $D(Y) = 9 \cdot 4 = 36$, $\sigma(Y) = 6$. Обратите внимание: вычитание двойки дисперсию не изменило.

Разобранный пример 5

Тест из 100 вопросов, на каждый ученик наугад угадывает ответ с вероятностью 0,2. Каково среднее число угаданных и разброс?

$E = 100 \cdot 0{,}2 = 20$, $D = 100 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 16$, $\sigma = 4$. Обычно результат угадывания попадает в диапазон $20 \pm 8$.

Разобранный пример 6

Игра: с вероятностью 0,1 выигрываете 10 рублей, иначе теряете 1 рубль. Найдите ожидание и дисперсию выигрыша.

1. $E = 10 \cdot 0{,}1 - 1 \cdot 0{,}9 = 0{,}1$ руб. — игра слегка выгодна.
2. $E(X^2) = 100 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}9 = 10{,}9$; $D = 10{,}9 - 0{,}01 = 10{,}89$, $\sigma = 3{,}3$ — риск велик по сравнению со средним выигрышем.

Равномерное распределение

Для величины, равномерно распределённой на $[a; b]$:

$E(X) = \frac{a + b}{2}, \qquad D(X) = \frac{(b - a)^2}{12}.$

Например, время ожидания автобуса, который ходит каждые 10 минут, в среднем 5 минут, а $\sigma = \frac{10}{\sqrt{12}} \approx 2{,}9$ минуты. Ошибка округления до целых равномерна на $[-0{,}5; 0{,}5]$: в среднем ноль, $\sigma \approx 0{,}29$.

Неравенство Чебышёва

Насколько далеко величина может уйти от среднего? Для любого распределения:

$P\big(|X - E(X)| \ge k\sigma\big) \le \frac{1}{k^2}.$

Отклониться на два стандартных отклонения и больше можно с вероятностью не выше $\frac{1}{4}$, на три — не выше $\frac{1}{9}$. Оценка грубая, зато работает всегда; для нормального распределения вероятности намного меньше.

Почему среднее многих опытов точнее

Пусть $X_1, \ldots, X_n$ — независимые измерения с дисперсией $D$. Их среднее $\bar X = \frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}$ имеет то же ожидание, а дисперсию $\frac{nD}{n^2} = \frac{D}{n}$. Значит, разброс среднего уменьшается в $\sqrt{n}$ раз. Чтобы вдвое повысить точность, нужно в четыре раза больше измерений. Это основа всех статистических опросов и физических экспериментов.

Немного истории

Понятие ожидания появилось в переписке Паскаля и Ферма (1654) о справедливом разделе ставки в прерванной игре. Христиан Гюйгенс в книге «О расчётах в азартной игре» (1657) назвал его «ценой шанса». Дисперсию и знаменитое неравенство ввёл Пафнутий Львович Чебышёв (1867), доказав с их помощью закон больших чисел в общем виде.

Типичные ошибки

• Считать, что $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ для зависимых величин.
• Писать $D(aX) = aD(X)$ вместо $a^2 D(X)$, и $D(X - Y) = D(X) - D(Y)$ вместо суммы.
• Путать $E(X^2)$ и $(E(X))^2$.
• Получать отрицательную дисперсию — верный знак ошибки в вычислениях.

Что дальше

• Нормальное распределение и стандартизация — нормальное распределение и правило трёх сигм.
• Выборка и статистический вывод — выборка и статистический вывод.