Случайные величины и распределения

Зачем это нужно

Число бракованных деталей в партии, время ожидания автобуса, рост случайно выбранного человека, выигрыш в лотерее, срок службы лампочки — всё это случайные величины: числа, которые зависят от случая. В 9 классе мы описывали их таблицей распределения. Теперь научимся работать и с величинами, принимающими любые значения из промежутка, и введём универсальный инструмент — функцию распределения. Это язык страховых компаний, инженеров по надёжности, физиков, экономистов и специалистов по данным.

Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайная величина $X$ — числовая величина, значение которой определяется исходом случайного опыта.

• Дискретная величина принимает отдельные значения, которые можно перечислить: число очков на кубике, число орлов, число звонков за час.
• Непрерывная величина может принять любое значение из промежутка: время ожидания, рост, масса, ошибка измерения.

Дискретную величину задаёт ряд (таблица) распределения: значения $x_i$ и их вероятности $p_i$, причём $\sum p_i = 1$.

Разобранный пример 1

Монету бросают 3 раза, $X$ — число орлов. Составьте распределение.

Всего 8 равновероятных исходов. По формуле Бернулли $P(X = k) = C_3^k \cdot \frac{1}{8}$:

Функция распределения

Функция распределения случайной величины $X$:

$F(x) = P(X \le x).$

Она определена для любой величины — и дискретной, и непрерывной. Её свойства:

1. $0 \le F(x) \le 1$;
2. $F(x)$ не убывает;
3. $F(x) \to 0$ при $x \to -\infty$ и $F(x) \to 1$ при $x \to +\infty$;
4. $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$.

У дискретной величины $F(x)$ — ступенчатая: в каждой точке $x_i$ она подпрыгивает на $p_i$.

Разобранный пример 2

Для числа орлов из примера 1 найдите $F(1{,}5)$ и $P(0 < X \le 2)$.

1. $F(1{,}5) = P(X \le 1{,}5) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$.
2. $P(0 < X \le 2) = F(2) - F(0) = \frac{7}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$.

Разобранный пример 3

Игральный кубик бросают один раз, $X$ — число очков. Найдите $F(3{,}7)$ и вероятность $P(2 < X \le 5)$.

1. Значения не больше 3,7 — это 1, 2 и 3: $F(3{,}7) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
2. $P(2 < X \le 5) = F(5) - F(2) = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{2}$ — это значения 3, 4 и 5.

Обратите внимание: по функции распределения можно восстановить таблицу распределения — высоты скачков и есть вероятности значений.

Непрерывные величины и плотность

У непрерывной величины вероятность любого отдельного значения равна нулю: вероятность того, что рост равен ровно 170,000… см, нулевая. Имеют смысл лишь вероятности попадания в промежутки. Их задаёт плотность распределения $f(x)$:

$P(a < X < b) = \text{площадь под графиком } f(x) \text{ на } [a; b].$

Плотность неотрицательна, а вся площадь под её графиком равна 1. Плотность — не вероятность, а «вероятность на единицу длины», поэтому она может быть больше единицы.

Равномерное распределение на отрезке $[a; b]$: плотность постоянна, $f(x) = \frac{1}{b - a}$, и вероятность попасть в часть отрезка пропорциональна её длине. Это та же «геометрическая вероятность» из 9 класса.

Разобранный пример 4

Автобус ходит строго каждые 10 минут, пассажир приходит в случайный момент. Какова вероятность ждать меньше 3 минут?

Время ожидания равномерно на $[0; 10]$, $f = 0{,}1$; искомая площадь — $3 \cdot 0{,}1 = 0{,}3$.

Разобранный пример 5

Плотность величины $X$ на $[0; 1]$ равна $f(x) = 2x$ (вне отрезка 0). Найдите $P(X < 0{,}5)$.

Под графиком на $[0; 0{,}5]$ — треугольник с катетами 0,5 и 1: площадь $\frac{0{,}5 \cdot 1}{2} = 0{,}25$. Проверка: на всём отрезке площадь $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1$.

Показательное распределение

Время безотказной работы прибора, время до распада атома, интервал между звонками часто описывает показательное распределение:

$P(X > t) = e^{-\lambda t},$

где $\lambda$ — интенсивность (среднее число событий в единицу времени). Удивительное свойство — отсутствие памяти: прибор, уже проработавший 1000 часов, имеет те же шансы проработать ещё 100 часов, что и новый.

Разобранный пример 6

Лампа выходит из строя в среднем раз в 1000 часов ($\lambda = 0{,}001$ ч⁻¹). Какова вероятность, что она проработает больше 1000 часов?

$P = e^{-1} \approx 0{,}37$ — лишь чуть больше трети ламп доживёт до «среднего» срока!

Немного истории

Понятие случайной величины сложилось в работах Чебышёва и его учеников Маркова и Ляпунова (XIX век). Строгое определение через функцию распределения дал А. Н. Колмогоров в аксиоматике теории вероятностей (1933).

Типичные ошибки

• Считать, что у непрерывной величины $P(X = a) > 0$.
• Путать плотность $f(x)$ с вероятностью.
• Забывать, что для дискретной величины $F(x) = P(X \le x)$ включает значение в самой точке.
• Проверять распределение, не убедившись, что сумма вероятностей (или площадь) равна 1.

Что дальше

• Математическое ожидание и дисперсия случайной величины — числовые характеристики случайных величин.
• Дискретные распределения — геометрическое и пуассоновское — геометрическое и пуассоновское распределения.
• Нормальное распределение и стандартизация — нормальное распределение.