Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

Зачем это нужно

Колония бактерий удваивается каждые 20 минут. Деньги на вкладе растут на 10 % в год. Радиоактивного вещества становится вдвое меньше каждые 8 суток. Во всех этих процессах величина за равные промежутки времени умножается на одно и то же число — это показательный (экспоненциальный) рост или убывание. Его описывает показательная функция. Главная её особенность — рост не на одно и то же число, а в одно и то же число раз. Понимать её важно не только для экзамена: «экспонента» объясняет эпидемии, инфляцию, остывание чая и закон Мура в электронике.

Показательная функция и её свойства

Показательная функция — $y = a^x$, где $a > 0$, $a \ne 1$.

Главное: $a^x > 0$ при любом $x$, а из $a^{f} = a^{g}$ следует $f = g$ (функция монотонна).

Почему $a > 0$ и $a \ne 1$? При $a = 1$ функция постоянна ($1^x = 1$) и неинтересна. При отрицательном основании степень $a^x$ не определена для многих $x$: например, $(-8)^{1/2}$ не существует среди действительных чисел. Поэтому основание берут положительным.

Сравнение степеней. Из монотонности сразу следует: $2^{0{,}3} < 2^{0{,}5}$ (основание больше 1, больший показатель — большее значение), а $0{,}3^{2} > 0{,}3^{3}$ (основание меньше 1 — наоборот).

Особую роль играет основание $e \approx 2{,}718$ — функция $y = e^x$ называется экспонентой. Почему именно $e$, станет ясно при изучении производных.

Показательные уравнения

1. Приведение к одному основанию. $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$.

Разобранный пример 1

Решите $2^{x + 1} = 16$. $2^{x+1} = 2^4$, $x + 1 = 4$, $x = 3$.

Разобранный пример 2

Решите $9^x = 27$. $3^{2x} = 3^3$, $2x = 3$, $x = 1{,}5$.

2. Вынесение общего множителя.

Разобранный пример 3

Решите $3^{x + 1} + 3^x = 36$. $3^x (3 + 1) = 36$, $3^x = 9$, $x = 2$.

3. Замена переменной.

Разобранный пример 4

Решите $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$.

1. $4^x = (2^x)^2$. Пусть $t = 2^x > 0$: $t^2 - 3t - 4 = 0$, $t = 4$ или $t = -1$.
2. $t = -1$ не подходит, так как $2^x > 0$.
3. $2^x = 4$, $x = 2$.

4. Однородные уравнения. Если в уравнении встречаются $a^{2x}$, $(ab)^x$ и $b^{2x}$, делят на $b^{2x}$ и вводят $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$.

Разобранный пример 5

Решите $9^x + 6^x - 2 \cdot 4^x = 0$.

1. Делим на $4^x > 0$: $\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} + \left(\frac{3}{2}\right)^x - 2 = 0$.
2. $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0$: $t^2 + t - 2 = 0$, $t = 1$ или $t = -2$ (не подходит).
3. $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$, $x = 0$.

Общий алгоритм: посмотреть, можно ли привести всё к одному основанию; если есть суммы степеней с одинаковым основанием — вынести общий множитель; если встречаются $a^{2x}$ и $a^x$ — замена; если разные основания в одинаковых степенях — деление.

Показательные неравенства

Из монотонности:

• при $a > 1$: $a^{f} > a^{g} \iff f > g$ (знак сохраняется);
• при $0 < a < 1$: $a^{f} > a^{g} \iff f < g$ (знак меняется).

Разобранный пример 6

Решите $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 8$. $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$; основание меньше 1, знак меняется: $x < -3$.

Разобранный пример 7

Решите $5^{x^2 - x} \le 25$. $x^2 - x \le 2$, $x^2 - x - 2 \le 0$, $x \in [-1; 2]$.

Системы

Разобранный пример 8

Решите систему: $2^x \cdot 2^y = 32$, $x - y = 1$.

1. Первое уравнение: $2^{x + y} = 2^5$, то есть $x + y = 5$.
2. Получаем линейную систему: $x + y = 5$, $x - y = 1$, откуда $x = 3$, $y = 2$.

Показательные системы обычно сводятся к обычным алгебраическим системам после приведения к одному основанию или замены.

Показательный рост в жизни

Если величина каждый период умножается на $q$, то через $n$ периодов она равна $A_0 q^n$. Вклад 100 000 рублей под 10 % годовых через 10 лет превратится в $100\,000 \cdot 1{,}1^{10} \approx 259\,000$ рублей. Бактерия, делящаяся каждые 20 минут, за сутки (72 деления) дала бы $2^{72} \approx 4{,}7 \cdot 10^{21}$ потомков, если бы хватало питания. Легенда о шахматной доске (по одному зёрнышку на первую клетку и удвоение на каждой следующей) — тоже про экспоненту: всего получится $2^{64} - 1$ зёрен, больше, чем человечество собрало за всю историю.

Немного истории

Число $e$ впервые возникло в задаче о сложных процентах: Якоб Бернулли в 1683 году выяснил, что если начислять 100 % годовых всё более мелкими порциями, то сумма за год вырастет не бесконечно, а примерно в 2,718 раза. Обозначение $e$ ввёл Леонард Эйлер.

Типичные ошибки

• Забывать, что $a^x > 0$, и оставлять корни вида $2^x = -1$.
• Не менять знак неравенства при основании меньше 1.
• Приравнивать показатели при разных основаниях.
• Путать $2^{x+1}$ и $2^x + 1$.
• Записывать $4^x$ как $2^{x^2}$ вместо $2^{2x}$.

Что дальше

• Логарифмы и логарифмическая функция — как решить $2^x = 5$: логарифмы.
• Асимптотика и сравнение роста функций — экспонента растёт быстрее любой степени.
• Физика атомного ядра — закон радиоактивного распада.