Степень с рациональным показателем. Иррациональные уравнения

Зачем это нужно

Формулы физики, биологии и экономики полны дробных степеней: период обращения планеты пропорционален $a^{3/2}$ (третий закон Кеплера), площадь поверхности животного растёт как $m^{2/3}$, сложные проценты за полгода считаются через $(1 + r)^{1/2}$. А уравнения с корнями — иррациональные — регулярно встречаются на ЕГЭ. В 9 классе мы познакомились с корнем $n$-й степени; теперь научимся уверенно работать со степенями и решать уравнения и неравенства с радикалами.

Степень с рациональным показателем

Для $a > 0$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$

Все привычные свойства сохраняются: $a^p a^q = a^{p+q}$, $(a^p)^q = a^{pq}$, $(ab)^p = a^p b^p$, $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

Разобранный пример 1

Вычислите $8^{\frac{2}{3}} + 27^{-\frac{1}{3}}$.

$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$, $27^{-1/3} = \frac{1}{3}$. Ответ: $4\frac{1}{3}$.

Дробная степень хорошо видна в законах природы. По третьему закону Кеплера период обращения планеты (в годах) равен $a^{3/2}$, где $a$ — среднее расстояние до Солнца в астрономических единицах. Для Марса $a \approx 1{,}52$, и $T \approx 1{,}52^{1{,}5} \approx 1{,}87$ года, что совпадает с наблюдениями.

Степенная функция

Степенная функция — $y = x^p$. Её вид зависит от показателя $p$:

• $p > 1$ (например, $x^2$) — быстро растёт, график прижат к оси $x$ около нуля;
• $0 < p < 1$ (например, $\sqrt{x} = x^{1/2}$) — растёт всё медленнее, «выпуклостью вверх»;
• $p < 0$ (например, $x^{-1}$) — убывает, оси являются асимптотами.

При $x > 0$ все графики проходят через точку $(1; 1)$. Чем больше показатель, тем быстрее функция растёт при $x > 1$ и тем ближе к нулю её значения при $0 < x < 1$.

Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение содержит переменную под знаком корня. Основной метод — возведение обеих частей в степень. Но при возведении в чётную степень могут появиться посторонние корни, поэтому обязательна проверка (или учёт условий).

Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$f(x) = g(x)^2, \qquad g(x) \ge 0.$

Разобранный пример 2

Решите $\sqrt{x + 2} = x$.

1. Возводим в квадрат: $x + 2 = x^2$, $x^2 - x - 2 = 0$, $x = 2$ или $x = -1$.
2. Условие $x \ge 0$: корень $-1$ посторонний (проверка: $\sqrt{1} = 1 \ne -1$).
3. Ответ: $x = 2$.

Разобранный пример 3

Решите $\sqrt{2x - 3} = \sqrt{x + 1}$.

$2x - 3 = x + 1$, $x = 4$. Проверка: $\sqrt{5} = \sqrt{5}$ — подходит.

Разобранный пример 4 (замена)

Решите $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$.

Пусть $t = \sqrt{x} \ge 0$: $t^2 - 5t + 6 = 0$, $t = 2$ или $t = 3$. Отсюда $x = 4$ или $x = 9$.

Откуда берутся посторонние корни

Из равенства $a = b$ следует $a^2 = b^2$, но обратное неверно: из $a^2 = b^2$ следует лишь $a = b$ или $a = -b$. Возводя уравнение $\sqrt{x + 2} = x$ в квадрат, мы фактически решаем сразу два уравнения: $\sqrt{x + 2} = x$ и $\sqrt{x + 2} = -x$. Корень $x = -1$ принадлежит второму из них. Поэтому после возведения в чётную степень нужна проверка или условие $g(x) \ge 0$. При возведении в нечётную степень (например, в куб) посторонние корни не появляются.

Разобранный пример 6 (два корня)

Решите $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$.

1. Уединим корень: $\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}$.
2. Возводим в квадрат: $x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x$, откуда $\sqrt{x} = 2$, $x = 4$.
3. Проверка: $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$. Ответ: $x = 4$.

Алгоритм решения иррационального уравнения

1. Найдите область допустимых значений (подкоренные выражения чётных корней неотрицательны) или сразу запишите условие $g(x) \ge 0$.
2. Уедините корень в одной части уравнения.
3. Возведите обе части в нужную степень; если корней несколько, повторите.
4. Решите полученное уравнение.
5. Проверьте каждый корень подстановкой в исходное уравнение.

Иррациональные неравенства

Главные схемы ($f$, $g$ — выражения с переменной):

• $\sqrt{f} < g$ $\iff$ $f \ge 0$, $g > 0$, $f < g^2$;
• $\sqrt{f} > g$ $\iff$ либо ($g < 0$ и $f \ge 0$), либо ($g \ge 0$ и $f > g^2$).

Разобранный пример 5

Решите $\sqrt{x - 1} < 3$.

$x - 1 \ge 0$ и $x - 1 < 9$: $1 \le x < 10$.

Разобранный пример 7

Решите $\sqrt{x + 4} > x - 2$.

1. Если $x - 2 < 0$, то неравенство верно при всех $x$ из области определения: $-4 \le x < 2$.
2. Если $x \ge 2$, обе части неотрицательны, возводим в квадрат: $x + 4 > x^2 - 4x + 4$, то есть $x^2 - 5x < 0$, $0 < x < 5$. С учётом $x \ge 2$: $2 \le x < 5$.
3. Объединяем: $x \in [-4; 5)$.

Немного истории

Дробные показатели степени впервые встречаются у французского учёного Николая Орема в XIV веке. Современную запись $a^{m/n}$ и отрицательные показатели ввёл в обиход Исаак Ньютон в конце XVII века, когда выводил формулу бинома для любых показателей.

Типичные ошибки

• Не проверять корни после возведения в квадрат.
• Забывать, что $\sqrt{a} \ge 0$ по определению: уравнение $\sqrt{x} = -2$ корней не имеет.
• Считать $\sqrt{a^2} = a$ вместо $|a|$.
• Применять формулу $a^{m/n}$ к отрицательному основанию.
• В неравенствах терять условие $f(x) \ge 0$.

Что дальше

• Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства — показательная функция: переменная в показателе степени.
• Специальная теория относительности — в формулах теории относительности встречается $\sqrt{1 - v^2/c^2}$.