Квадратные неравенства. Метод интервалов

Зачем это нужно

При каких значениях скорости тормозной путь не превысит 40 м? Когда брошенный мяч находится выше 10 м? При каком количестве товара прибыль положительна? Такие вопросы приводят к квадратным неравенствам. А метод интервалов — универсальный инструмент: с его помощью решают неравенства с произведениями и дробями любой степени. Без него не обойтись в задании 20 ОГЭ и в задании 15 профильного ЕГЭ, а также при нахождении области определения функций.

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство — неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ (или $<$, $\ge$, $\le$), где $a \ne 0$.

Решение с помощью графика

Знак выражения $ax^2 + bx + c$ наглядно показывает парабола $y = ax^2 + bx + c$: где она выше оси $x$ — выражение положительно, где ниже — отрицательно.

Алгоритм:

1. Найдите корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Схематично нарисуйте параболу: направление ветвей (по знаку $a$) и точки пересечения с осью $x$.
3. Выберите промежутки, где парабола выше (для $> 0$) или ниже (для $< 0$) оси.

Разобранный пример 1

Решите $x^2 - x - 6 > 0$.

1. Корни: $x = -2$, $x = 3$.
2. Ветви вверх, парабола выше оси левее $-2$ и правее $3$.
3. Ответ: $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

Разобранный пример 2

Решите $-x^2 + 4x \ge 0$.

1. Корни: $-x(x - 4) = 0$, $x = 0$ и $x = 4$.
2. Ветви вниз, парабола выше оси между корнями.
3. Неравенство нестрогое — концы включаем. Ответ: $[0; 4]$.

Разобранный пример 3

Решите $x^2 + 2x + 5 < 0$.

$D = 4 - 20 < 0$: корней нет, ветви вверх, парабола целиком выше оси. Неравенство $< 0$ не имеет решений. (А неравенство $x^2 + 2x + 5 > 0$ верно при любом $x$.)

Метод интервалов

Метод интервалов работает для произведений любого числа множителей, а не только для квадратных трёхчленов. Он основан на том, что выражение вида $(x - x_1)(x - x_2)\ldots(x - x_n)$ меняет знак только в нулях множителей.

Алгоритм:

1. Приведите неравенство к виду $f(x) > 0$ (или $<$, $\ge$, $\le$), где $f(x)$ разложено на множители $(x - x_i)$.
2. Отметьте нули множителей на числовой прямой — они разобьют её на интервалы.
3. Определите знак $f(x)$ на крайнем правом интервале (подставьте большое число). При старшем коэффициенте $1$ он положительный.
4. Расставьте знаки на остальных интервалах: при переходе через простой корень знак меняется.
5. Выберите нужные интервалы и запишите ответ (с учётом строгости).

Разобранный пример 4

Решите $(x + 3)(x - 1)(x - 5) \le 0$.

1. Нули: $-3$, $1$, $5$.
2. Знаки справа налево: на $(5; +\infty)$ «+», на $(1; 5)$ «−», на $(-3; 1)$ «+», на $(-\infty; -3)$ «−».
3. Нужны «−» и нули: $(-\infty; -3] \cup [1; 5]$.

Важно: если множитель стоит в чётной степени (такой корень называют корнем чётной кратности), например $(x - 2)^2$, при переходе через его нуль знак не меняется.

Где применяются квадратные неравенства

Область определения. Выражение $\sqrt{6 + x - x^2}$ имеет смысл, когда $6 + x - x^2 \ge 0$. Корни трёхчлена $-2$ и $3$, ветви вниз — подкоренное выражение неотрицательно на $[-2; 3]$. Это и есть область определения.

Задачи с физическим смыслом. Мяч подброшен вверх, его высота $h = 20t - 5t^2$. Когда он выше 15 м? Решаем $20t - 5t^2 > 15$, то есть $t^2 - 4t + 3 < 0$: $1 < t < 3$. Мяч находится выше 15 м в течение 2 секунд.

Задачи с параметром. При каких $c$ уравнение $x^2 + 4x + c = 0$ имеет два корня? Нужно $D = 16 - 4c > 0$, то есть $c < 4$. Здесь неравенство линейное, но в более сложных задачах для параметра получаются квадратные неравенства.

Как проверить ответ

Возьмите по одному числу из каждого промежутка ответа и из каждого промежутка, не вошедшего в ответ, и подставьте в исходное неравенство. Для $x^2 - x - 6 > 0$: при $x = -3$ получаем $6 > 0$ — верно; при $x = 0$ получаем $-6 > 0$ — неверно; при $x = 4$ получаем $6 > 0$ — верно. Ответ $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ подтверждён. Отдельно проверьте сами граничные точки: при нестрогом неравенстве они должны входить в ответ.

Типичные ошибки

• Забывать учитывать направление ветвей: при $a < 0$ знаки «переворачиваются».
• Включать концы в ответ при строгом неравенстве (и наоборот).
• Записывать ответ $-2 > x > 3$ вместо объединения $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.
• Ставить знаки на интервалах наугад вместо проверки подстановкой.
• Менять знак при переходе через корень чётной кратности.

Что дальше

• Рациональные неравенства и метод интервалов — дробно-рациональные неравенства методом интервалов.
• Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства — показательные неравенства.
• Методы решения неравенств — общие методы решения неравенств.