Обратная функция и композиция функций

Зачем это нужно

Функции можно не только складывать и умножать, но и выполнять одну за другой: сначала перевести рубли в доллары, потом доллары в евро. Это композиция функций. А иногда нужно пойти «назад»: по температуре в градусах Фаренгейта узнать градусы Цельсия, по логарифму восстановить число. Это обратная функция. Оба понятия лежат в основе всего курса старшей школы: логарифм — обратная функция к показательной, арксинус — к синусу, а производная сложной функции считается через композицию.

Композиция функций

Композицией (сложной функцией) $f \circ g$ называется функция $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ : сначала применяют $g$ , затем к результату — $f$ .

Слева графики y = x² при x ≥ 0 и y = √x, симметричные относительно прямой y = x, точки (2; 4) и (4; 2); справа схема композиции: x → g(x) → f(g(x))

Разобранный пример 1

$f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 3$ . Найдите $f(g(2))$ и $g(f(2))$ .

$f(g(2)) = f(5) = 25$ , а $g(f(2)) = g(4) = 7$ . Порядок важен: композиция не коммутативна, $f \circ g \ne g \circ f$ .

Область определения композиции — те $x$ , для которых определено $g(x)$ , причём значение $g(x)$ лежит в области определения $f$ .

Разобранный пример 2

$f(x) = \sqrt{x}$ , $g(x) = 1 - x$ . Найдите область определения $f(g(x))$ . $f(g(x)) = \sqrt{1 - x}$ , нужно $1 - x \ge 0$ , то есть $x \le 1$ .

Разложение на «звенья». Полезно уметь видеть сложную функцию как цепочку: $h(x) = (3x - 1)^5$ — это $f(g(x))$ при $g(x) = 3x - 1$ и $f(u) = u^5$ . Этот навык понадобится для производной сложной функции. Разложение не единственно, но обычно ищут самое естественное: внешняя функция — последнее действие, которое выполняется при вычислении значения.

Обратная функция

Функция $f$ называется обратимой, если каждое своё значение она принимает ровно один раз. Тогда по значению $y$ можно однозначно восстановить $x$ , и возникает обратная функция $f^{-1}$ : $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ .

Свойства:

область определения $f^{-1}$ — множество значений $f$ , и наоборот;
$f^{-1}(f(x)) = x$ и $f(f^{-1}(y)) = y$ ;
графики $f$ и $f^{-1}$ симметричны относительно прямой $y = x$ (точка $(a; b)$ переходит в $(b; a)$ );
строго монотонная функция всегда обратима, и обратная монотонна в ту же сторону.

Как найти обратную функцию:

Записать $y = f(x)$ .
Выразить $x$ через $y$ .
Поменять обозначения $x$ и $y$ .
Указать область определения.

Разобранный пример 3

Найдите функцию, обратную к $y = 2x + 3$ . $x = \frac{y - 3}{2}$ , значит, $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ .

Разобранный пример 4

Найдите обратную к $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ .

$y(x - 2) = x + 1$ , $x(y - 1) = 2y + 1$ , $x = \frac{2y + 1}{y - 1}$ .
$f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ , $x \ne 1$ . Значение 1 функция $f$ не принимает — это её горизонтальная асимптота.

Как проверить ответ. Найдя обратную функцию, подставьте её в исходную: должно получиться $f(f^{-1}(x)) = x$ . Для примера 3: $2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x$ — верно. Ещё удобная проверка — взять одну точку: $f(1) = 5$ , значит, должно быть $f^{-1}(5) = 1$ , и действительно $\frac{5 - 3}{2} = 1$ . На графике в Desmos функция и найденная обратная должны быть зеркальны относительно прямой $y = x$ .

Разобранный пример 5

Обратима ли $y = x^2$ ? На всей прямой — нет: $f(2) = f(-2) = 4$ . Но на промежутке $[0; +\infty)$ она возрастает, и там обратная функция — $y = \sqrt{x}$ . Так «сужением» области определения вводятся корни, логарифмы и обратные тригонометрические функции.

Повторное применение и уравнения

Итерации. Функцию можно применять к самой себе. Для $f(x) = \frac{1}{1 - x}$ получаем $f(f(x)) = \frac{x - 1}{x}$ и $f(f(f(x))) = x$ : трёхкратное применение возвращает исходное число. Такие циклы встречаются в задачах на функциональные уравнения и в программировании.

Уравнение $f(x) = f^{-1}(x)$ . Если $f$ возрастает, его корни совпадают с корнями более простого уравнения $f(x) = x$ : графики взаимно обратных возрастающих функций пересекаются только на прямой $y = x$ .

Разобранный пример 6

Решите $x^2 - 2 = \sqrt{x + 2}$ при $x \ge 0$ .

Функции $y = x^2 - 2$ ( $x \ge 0$ ) и $y = \sqrt{x + 2}$ взаимно обратны и возрастают. Значит, достаточно решить $\sqrt{x + 2} = x$ : $x^2 - x - 2 = 0$ , $x = 2$ . Проверка: $4 - 2 = 2 = \sqrt{4}$ .

Обратные функции вокруг нас

Перевод температур: $F = 1{,}8C + 32$ , обратная формула $C = \frac{F - 32}{1{,}8}$ ; например, $98{,}6^\circ F = 37^\circ C$ . Шифрование и расшифровка, кодирование и декодирование, сжатие и распаковка файлов — пары взаимно обратных преобразований. Функция, не имеющая обратной, «теряет информацию»: по результату нельзя однозначно восстановить исходные данные.

Взаимно обратные пары

Функция	Обратная
$y = a^x$	$y = \log_a x$
$y = x^3$	$y = \sqrt[3]{x}$
$y = x^2$ , $x \ge 0$	$y = \sqrt{x}$
$y = \sin x$ , $x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$	$y = \arcsin x$
$y = kx + b$ , $k \ne 0$	$y = \frac{x - b}{k}$

Типичные ошибки

Путать $f^{-1}(x)$ и $\frac{1}{f(x)}$ : это разные вещи.
Менять порядок в композиции: $f(g(x)) \ne g(f(x))$ .
Искать обратную к необратимой функции, не сузив область определения.
Забывать поменять $x$ и $y$ местами в конце.
Не учитывать область определения композиции.

Что дальше

Кусочно-заданные функции — кусочно-заданные функции.
Функциональные уравнения и рекуррентные соотношения — функциональные уравнения.
Прикладные задачи на оптимизацию — прикладные задачи на оптимизацию.