Понятие функции

Зачем это нужно

Площадь квадрата зависит от его стороны, стоимость поездки — от расстояния, температура воздуха — от времени суток. В математике такие зависимости описывают с помощью функций. Функция — одно из центральных понятий всей математики: с 7 по 11 класс вы будете изучать всё новые функции — линейную, квадратичную, показательную, тригонометрические, — а в физике законы движения и электричества записываются именно функциями.

В этой теме мы разберёмся, что такое функция, как её можно задать и как изобразить на графике.

Зависимые и независимые переменные

Пусть квадрат имеет сторону $a$ см. Его площадь $S = a^2$. Каждому значению $a$ соответствует ровно одно значение $S$: при $a = 3$ получаем $S = 9$, при $a = 5$ — $S = 25$.

• Переменную $a$, значения которой выбираем мы, называют независимой переменной, или аргументом.
• Переменную $S$, значение которой определяется аргументом, — зависимой переменной, или функцией.

Определение функции

Функция — это зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой.

Обычно аргумент обозначают $x$, функцию — $y$, и пишут $y = f(x)$ («игрек равно эф от икс»). Запись $f(3) = 9$ означает: значение функции при $x = 3$ равно 9.

Ключевое слово — единственное. Если какому-то $x$ соответствуют два разных $y$, это не функция.

Область определения и множество значений

Область определения — все значения, которые может принимать аргумент. Для формулы это все $x$, при которых формула имеет смысл:

• $y = 2x + 1$ — любое $x$;
• $y = \dfrac{6}{x}$ — все $x$, кроме 0;
• $y = \dfrac{1}{x - 3}$ — все $x$, кроме 3.

В задачах из жизни область определения ограничивает смысл: сторона квадрата не может быть отрицательной.

Множество значений — все значения, которые принимает функция. Например, $y = x^2$ принимает только неотрицательные значения.

Способы задания функции

1. Формулой. $y = 2x - 3$. Удобно находить значения: $f(5) = 2 \cdot 5 - 3 = 7$.

2. Таблицей.

Удобно, но таблица показывает лишь отдельные значения.

3. Графиком. Наглядно видно поведение функции.

4. Словесным описанием. «Каждому натуральному числу поставим в соответствие его последнюю цифру».

График функции

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Как построить график по формуле:

1. Составьте таблицу значений для нескольких $x$.
2. Отметьте точки $(x; y)$.
3. Соедините их плавной линией (если функция определена при всех промежуточных $x$).

Проверка «вертикальной прямой». Линия является графиком функции, если любая вертикальная прямая пересекает её не более чем в одной точке. Окружность этому условию не удовлетворяет.

Разобранный пример 1

Функция задана формулой $y = 3x - 5$. Найдите $f(-2)$ и значение $x$, при котором $y = 10$.

1. $f(-2) = 3 \cdot (-2) - 5 = -11$.
2. $3x - 5 = 10$, $3x = 15$, $x = 5$.
3. Проверка: $f(5) = 15 - 5 = 10$. Верно.

Ответ: $f(-2) = -11$; $x = 5$.

Разобранный пример 2

Принадлежит ли графику функции $y = x^2 - 4$ точка $A(-3; 5)$? А точка $B(2; 1)$?

1. Подставим $x = -3$: $(-3)^2 - 4 = 5$ — совпадает с ординатой точки $A$. Точка $A$ принадлежит графику.
2. Подставим $x = 2$: $2^2 - 4 = 0 \ne 1$. Точка $B$ не принадлежит графику.

Чтение графика

По графику функции можно найти:

• значение функции при данном $x$;
• нули функции — значения $x$, при которых $y = 0$ (точки пересечения с осью $Ox$);
• промежутки, где функция положительна (график выше оси $Ox$) и отрицательна;
• промежутки возрастания и убывания;
• наибольшее и наименьшее значения.

История вопроса

Слово «функция» ввёл в математику Готфрид Лейбниц в конце XVII века, а запись $f(x)$ — Леонард Эйлер в 1734 году. Современное определение функции как соответствия, при котором каждому $x$ сопоставлено единственное $y$, сформировалось в XIX веке в работах Дирихле и Лобачевского.

Типичные ошибки

• Считать функцией любую зависимость: если одному $x$ соответствуют два $y$, это не функция.
• Путать $f(3)$ («значение при $x = 3$») и решение уравнения $f(x) = 3$.
• Забывать исключать из области определения значения, при которых знаменатель равен нулю.
• Путать абсциссу и ординату при проверке принадлежности точки графику.
• Строить график по двум-трём точкам для функции, график которой не прямая.

Что дальше

• Линейная функция и её график — первая изучаемая функция: $y = kx + b$, её график — прямая.
• Обратная функция и композиция функций — в 10 классе: обратная функция и композиция функций.