Кусочно-заданные функции

Зачем это нужно

Такси берёт 100 рублей за первые 3 км и по 30 рублей за каждый следующий. Тариф на электричество днём один, ночью другой. Подоходный налог во многих странах растёт ступенями. Такие зависимости нельзя записать одной формулой: на разных участках действуют разные правила. Это кусочно-заданные функции. Они постоянно встречаются в экономике, технике и программировании (каждый оператор if задаёт «кусок»), а построение их графиков — регулярное задание ОГЭ и ЕГЭ.

Определение и вычисление значений

Функция задана кусочно, если её область определения разбита на промежутки, и на каждом действует своя формула:

$f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0, \\ x^2, & 0 \le x \le 2, \\ 6 - x, & x > 2. \end{cases}$

Чтобы найти $f(a)$, сначала определяют, в какой промежуток попадает $a$, и только потом подставляют в нужную формулу: $f(-1) = 1$, $f(1) = 1$, $f(3) = 3$.

Построение графика и точки склейки

1. Постройте график каждой формулы только на своём промежутке.
2. В граничных точках отметьте, какой части принадлежит точка: закрашенный кружок — принадлежит, пустой — нет.
3. Проверьте точки склейки: если значения слева и справа совпадают, график непрерывен; если нет — в этой точке разрыв (скачок).

На рисунке в точке $x = 0$ слева значение стремится к 2, а $f(0) = 0$ — разрыв. В точке $x = 2$ обе формулы дают 4, и график непрерывен.

Разобранный пример 1

При каком $a$ функция $f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & x < 1, \\ 3x, & x \ge 1 \end{cases}$ непрерывна?

Значения при $x = 1$ должны совпасть: $1 + a = 3$, $a = 2$.

Свойства по графику

Свойства кусочной функции удобно читать с готового графика. Для функции с рисунка:

• множество значений: левая часть даёт $(-\infty; 2)$, средняя — $[0; 4]$, правая — $(-\infty; 4)$; вместе $(-\infty; 4]$;
• наибольшее значение 4 достигается при $x = 2$, наименьшего нет;
• функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[0; 2]$, но не на всём луче $(-\infty; 2]$: из-за скачка $f(-0{,}1) = 1{,}9 > f(0) = 0$;
• убывает на $[2; +\infty)$.

Последний пункт особенно поучителен: он показывает, как важно аккуратно учитывать точки разрыва.

Функции с модулем

Модуль — самая частая кусочная функция: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $-x$ при $x < 0$. Выражение с несколькими модулями раскрывают методом промежутков: находят нули подмодульных выражений, делят ими прямую и на каждом участке раскрывают модули со своим знаком.

Разобранный пример 2

Постройте $y = |x - 1| + |x + 1|$ и решите уравнение $y = 4$.

1. Нули: $x = 1$ и $x = -1$.
2. При $x < -1$: $y = -2x$; при $-1 \le x \le 1$: $y = 2$; при $x > 1$: $y = 2x$.
3. Уравнение $y = 4$: на левом луче $x = -2$, на правом $x = 2$, на среднем участке решений нет.

Геометрически $|x - 1| + |x + 1|$ — сумма расстояний от точки $x$ до 1 и до $-1$. Между ними она постоянна и равна 2.

Число решений уравнения $f(x) = a$

По графику удобно определять, сколько решений имеет уравнение $f(x) = a$: проводим горизонтальную прямую $y = a$ и считаем точки пересечения.

Разобранный пример 3

Сколько решений у уравнения $f(x) = 3$ для функции с рисунка?

На луче $x + 2$ ($x < 0$) значения меньше 2 — решений нет. На параболе $x^2 = 3$, $x = \sqrt{3} \in [0; 2]$ — одно решение. На луче $6 - x = 3$, $x = 3 > 2$ — ещё одно. Всего два решения. Такой приём — основа заданий ОГЭ № 22 вида «при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки».

Прикладные примеры

Разобранный пример 4 (такси)

Стоимость поездки: $f(x) = 100$ при $x \le 3$ и $f(x) = 100 + 30(x - 3)$ при $x > 3$. Поездка на 10 км стоит $100 + 30 \cdot 7 = 310$ рублей.

Целая часть числа $[x]$ — наибольшее целое, не превосходящее $x$: $[2{,}7] = 2$, $[-1{,}3] = -2$. Её график — «лестница» из горизонтальных отрезков. Так устроено, например, начисление стажа или оплата парковки «за каждый начатый час». Рядом с ней — дробная часть $\{x\} = x - [x]$, график которой похож на пилу: он повторяется с периодом 1.

Типичные ошибки

• Строить каждую формулу на всей прямой, а не на своём промежутке.
• Не отмечать, какой части принадлежит граничная точка.
• Подставлять число не в ту формулу.
• Раскрывать модуль без учёта знака на промежутке.
• Считать $[-1{,}3] = -1$: целая часть отрицательного числа «округляет вниз».

Что дальше

• Предел последовательности и функции. Непрерывность — непрерывность и пределы: строгий смысл «склейки».
• Обратная функция и композиция функций — обратные функции и композиции.