Квадратичная функция и её график

Зачем это нужно

Брошенный мяч летит по параболе. Зеркала автомобильных фар и спутниковые антенны имеют параболическую форму, потому что собирают (или отражают) лучи в одну точку. Площадь квадрата, тормозной путь автомобиля, высота подброшенного тела — всё это квадратичные зависимости. Умение строить и «читать» параболу нужно для решения квадратных неравенств, задач на наибольшее и наименьшее значение, в физике (движение с ускорением) и экономике (максимум прибыли). Задания с параболой есть и в ОГЭ, и в ЕГЭ.

Функция и её свойства

Напомним, что функция — правило, по которому каждому $x$ из области определения ставится в соответствие единственное $y$. Основные свойства, которые описывают по графику:

• область определения и область значений;
• нули — значения $x$, при которых $y = 0$ (точки пересечения с осью $x$);
• промежутки знакопостоянства — где $y > 0$ и где $y < 0$;
• промежутки возрастания и убывания;
• наибольшее и наименьшее значения.

Функция y = ax²

Квадратичной называется функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a \ne 0$. Простейший случай — $y = ax^2$. Её график — парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси $y$.

• При $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз.
• Чем больше $|a|$, тем «уже» парабола (круче ветви).

Сдвиги графика

• $y = ax^2 + n$ — парабола $y = ax^2$, сдвинутая на $n$ единиц вверх (при $n < 0$ — вниз).
• $y = a(x - m)^2$ — сдвиг на $m$ единиц вправо (при $m < 0$ — влево).
• $y = a(x - m)^2 + n$ — вершина в точке $(m; n)$.

Обратите внимание на знак: $y = (x - 2)^2$ сдвинута вправо на 2, а $y = (x + 2)^2$ — влево.

График y = ax² + bx + c

Любой квадратный трёхчлен выделением полного квадрата приводится к виду $a(x - m)^2 + n$. Поэтому график — та же парабола, сдвинутая. Вершина находится в точке

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c.$

Прямая $x = x_0$ — ось симметрии параболы.

Алгоритм построения:

1. Определите направление ветвей по знаку $a$.
2. Найдите вершину $(x_0; y_0)$ и проведите ось симметрии.
3. Найдите точку пересечения с осью $y$: $(0; c)$, и симметричную ей.
4. Найдите нули функции (корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$), если они есть.
5. При необходимости добавьте ещё пару точек и проведите плавную кривую.

Разобранный пример 1

Постройте график $y = x^2 - 4x + 3$ и опишите свойства.

1. $a = 1 > 0$ — ветви вверх.
2. $x_0 = \frac{4}{2} = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$; вершина $(2; -1)$.
3. С осью $y$: $(0; 3)$, симметричная точка $(4; 3)$.
4. Нули: $x^2 - 4x + 3 = 0$, $x = 1$ и $x = 3$.
5. Свойства: область значений $y \ge -1$; убывает на $(-\infty; 2]$, возрастает на $[2; +\infty)$; $y < 0$ при $1 < x < 3$; наименьшее значение $-1$ при $x = 2$.

Заметим: $x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$ — это и есть парабола с рисунка.

Разобранный пример 2

Мяч брошен вверх, его высота $h(t) = 20t - 5t^2$ (м). Какой наибольшей высоты он достигнет?

1. $a = -5 < 0$ — ветви вниз, наибольшее значение в вершине.
2. $t_0 = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$ с.
3. $h(2) = 40 - 20 = 20$ м.

Знак коэффициентов по графику

• $a$: ветви вверх — $a > 0$, вниз — $a < 0$.
• $c$: точка пересечения с осью $y$ — это $(0; c)$.
• Число нулей определяется дискриминантом: $D > 0$ — два, $D = 0$ — один (вершина на оси $x$), $D < 0$ — ни одного.

Парабола вокруг нас

• Траектория полёта. Мяч, ядро, струя фонтана летят по параболе (если пренебречь сопротивлением воздуха). Наибольшая дальность броска с земли — при угле $45^\circ$.
• Параболическое зеркало. Лучи, параллельные оси параболы, после отражения собираются в одной точке — фокусе. Поэтому так устроены спутниковые антенны, солнечные печи и зеркала телескопов, а в фарах и прожекторах лампа стоит в фокусе, и свет уходит параллельным пучком.
• Мосты. Несущие тросы висячих мостов под равномерной нагрузкой принимают форму, близкую к параболе.
• Экономика. Прибыль часто зависит от цены квадратично: при слишком низкой цене мало дохода, при слишком высокой — мало покупателей; оптимальная цена соответствует вершине параболы.

История вопроса

Параболу изучали ещё древнегреческие математики как одно из конических сечений — линий, получающихся при пересечении конуса плоскостью. Название ей дал Аполлоний Пергский (III век до н. э.). А Галилео Галилей в XVII веке показал, что брошенное тело движется именно по параболе.

Типичные ошибки

• Сдвигать $y = (x - 3)^2$ влево вместо вправо.
• Находить абсциссу вершины как $\frac{b}{2a}$, теряя минус.
• Строить параболу по трём случайным точкам, не найдя вершину.
• Путать область определения (все $x$) и область значений (от $y_0$ и выше или ниже).
• Считать, что парабола всегда пересекает ось $x$.

Что дальше

• Квадратные неравенства. Метод интервалов — решение квадратных неравенств по графику.
• Степенная функция. Корень n-й степени — степенная функция $y = x^n$.
• Равноускоренное движение. Свободное падение. Баллистика — равноускоренное движение и баллистика.