Модуль числа и расстояние на числовой прямой

Зачем это нужно

Насколько отличается измеренное значение от точного? Как далеко друг от друга два города на трассе? На сколько градусов изменилась температура? Во всех этих вопросах важна величина отклонения, а не его направление. Её описывает модуль — одно из самых полезных понятий математики. С модулем записывают погрешности («$|x - 5| \le 0{,}1$»), расстояния, допуски в технике. Уравнения и неравенства с модулем встречаются в ОГЭ и ЕГЭ, а функция $y = |x|$ — одна из базовых.

Определение модуля

Модуль (абсолютная величина) числа $a$:

$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0, \\ -a, & a < 0. \end{cases}$

Модуль неотрицательного числа равен самому числу, модуль отрицательного — противоположному числу: $|7| = 7$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$.

Запомните: $-a$ при $a < 0$ — положительное число. Минус в формуле «снимает» минус у числа.

Геометрический смысл

$|a|$ — расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому $|a| \ge 0$.

Важнее: $|a - b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$. Например, расстояние между $-3$ и $5$ равно $|5 - (-3)| = 8$.

Свойства модуля

1. $|a| \ge 0$, причём $|a| = 0$ только при $a = 0$.
2. $|-a| = |a|$ — противоположные числа имеют равные модули.
3. $|ab| = |a| \cdot |b|$, $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.
4. $|a|^2 = a^2$ и $\sqrt{a^2} = |a|$.
5. $|a + b| \le |a| + |b|$ — неравенство треугольника для чисел.

Уравнения с модулем

$|x| = a$:

• если $a > 0$ — два корня: $x = \pm a$;
• если $a = 0$ — один корень: $x = 0$;
• если $a < 0$ — корней нет.

Уравнение $|f(x)| = a$ при $a > 0$ равносильно совокупности $f(x) = a$ или $f(x) = -a$.

Разобранный пример 1

Решите $|x - 2| = 3$.

1. Геометрически: точки на расстоянии 3 от точки 2 — это $-1$ и $5$.
2. Алгебраически: $x - 2 = 3$ или $x - 2 = -3$, откуда $x = 5$ или $x = -1$.

Разобранный пример 2

Решите $|2x + 1| = 7$ и $|3x - 4| = -2$.

1. $2x + 1 = 7$ или $2x + 1 = -7$: $x = 3$ или $x = -4$.
2. Модуль не может быть отрицательным — корней нет.

Разобранный пример 3

Решите $|x - 1| = |x + 3|$.

Геометрически: точка, равноудалённая от $1$ и $-3$, — середина отрезка: $x = \frac{1 + (-3)}{2} = -1$. Проверка: $|-2| = |2|$.

Неравенства с модулем

При $a > 0$:

• $|x| < a \iff -a < x < a$ — точки ближе $a$ к нулю, отрезок;
• $|x| > a \iff x < -a$ или $x > a$ — точки дальше $a$ от нуля, два луча.

Разобранный пример 4

Решите $|x - 4| \le 2$ и $|x + 1| > 3$.

1. Расстояние от $x$ до 4 не больше 2: $2 \le x \le 6$, ответ $[2; 6]$.
2. $x + 1 > 3$ или $x + 1 < -3$: $x > 2$ или $x < -4$, ответ $(-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

Функция y = |x|

График $y = |x|$ — «галочка»: при $x \ge 0$ совпадает с прямой $y = x$, при $x < 0$ — с прямой $y = -x$. График $y = |x - a|$ — та же «галочка», сдвинутая вправо на $a$; вершина в точке $(a; 0)$.

Модуль в жизни и науке

• Погрешность измерений. Запись $|x - 50| \le 0{,}2$ означает, что размер детали отличается от 50 мм не больше чем на 0,2 мм. Так на чертежах задают допуски: деталь размером 49,9 мм годна, а 50,3 мм — брак.
• Изменение величины. Если утром было $-8$ °C, а днём $+5$ °C, изменение температуры равно $|5 - (-8)| = 13$ градусам — неважно, в какую сторону оно произошло.
• Расстояние на карте. Два города на одной трассе находятся на километровых отметках 120 и 47; расстояние между ними $|120 - 47| = 73$ км, в каком бы порядке мы ни вычитали.
• Физика. Модуль скорости — это её величина без учёта направления: машина, едущая назад со скоростью $-15$ м/с, движется так же быстро, как едущая вперёд со скоростью 15 м/с.

Как решать уравнения и неравенства с модулем

1. Посмотрите на правую часть: если она отрицательна, у уравнения $|f(x)| = a$ решений нет, а неравенство $|f(x)| > a$ выполнено всегда.
2. Если выражение под модулем простое ($x - b$), используйте геометрический смысл — расстояние от точки $x$ до точки $b$.
3. В остальных случаях раскройте модуль по определению: рассмотрите случаи, когда выражение под модулем неотрицательно и когда отрицательно.
4. Проверьте ответ подстановкой — особенно если правая часть содержит переменную.

История вопроса

Термин «модуль» (от латинского modulus — «мера») ввёл в начале XVIII века английский математик Роджер Котс, ученик Ньютона, а привычное обозначение $|a|$ с двумя вертикальными чертами предложил немецкий математик Карл Вейерштрасс в 1841 году. Сегодня понятие модуля обобщено: в геометрии говорят о длине вектора, в комплексных числах — о модуле комплексного числа.

Типичные ошибки

• Считать, что $|-a| = a$ всегда: если $a < 0$, то $|-a| = -a$.
• Терять второй корень уравнения $|x - 3| = 5$: корни $8$ и $-2$.
• Решать $|x| = -4$ и получать $x = \pm 4$: модуль не бывает отрицательным.
• Путать неравенства: $|x| < 3$ — отрезок между $-3$ и $3$, $|x| > 3$ — два луча снаружи.
• Писать $\sqrt{x^2} = x$ вместо $|x|$.

Что дальше

• Кусочно-заданные функции — кусочно заданные функции, графики с модулем.