Предел последовательности и функции. Непрерывность

Зачем это нужно

Как найти мгновенную скорость, если скорость — это путь, делённый на время, а за «мгновение» путь и время нулевые? Как вычислить площадь фигуры с кривой границей? Почему $0{,}999\ldots = 1$? Все эти вопросы решает понятие предела — фундамент математического анализа. Через пределы определяются производная и интеграл, на которых построены физика, инженерия, экономика и машинное обучение. В этой теме мы познакомимся с пределом наглядно и научимся вычислять простейшие пределы.

Предел последовательности

Число $a$ называют пределом последовательности $(a_n)$, если её члены с ростом $n$ становятся сколь угодно близкими к $a$. Строже: для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N$, начиная с которого все члены лежат в полосе $(a - \varepsilon;\ a + \varepsilon)$:

$|a_n - a| < \varepsilon \quad \text{при } n > N.$

Записывают: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Разобранный пример 1

Докажите, что $\lim \frac{1}{n} = 0$. С какого номера $\frac{1}{n} < 0{,}01$?

$\left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon$ при $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Для $\varepsilon = 0{,}01$ — начиная с $n = 101$. Так для любого $\varepsilon$ найдётся $N$.

Важные пределы: $\lim \frac{1}{n^k} = 0$ ($k > 0$); $\lim q^n = 0$ при $|q| < 1$; предел постоянной равен ей самой.

Свойства. Если $\lim a_n = a$, $\lim b_n = b$, то пределы суммы, разности, произведения равны $a \pm b$ и $ab$, частного — $\frac{a}{b}$ (при $b \ne 0$).

Разобранный пример 2

Найдите $\lim \frac{2n^2 - n}{5n^2 + 3}$.

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n^2$: $\frac{2 - \frac{1}{n}}{5 + \frac{3}{n^2}} \to \frac{2}{5}$.

Почему $0{,}999\ldots = 1$? Это бесконечная десятичная дробь, то есть предел последовательности $0{,}9;\ 0{,}99;\ 0{,}999; \ldots$, а разность $1 - 0{,}99\ldots9 = 10^{-n}$ стремится к нулю.

Число $e$. Последовательность $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ возрастает и ограничена, её предел — знаменитое число $e \approx 2{,}718$, основание натуральных логарифмов. При $n = 1000$ получаем уже 2,717.

Предел функции

Число $b$ называют пределом функции $f(x)$ при $x \to a$, если значения $f(x)$ сколь угодно близки к $b$, когда $x$ достаточно близок к $a$ (но $x \ne a$). Пишут $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$. Важно: сама функция в точке $a$ может быть не определена — нас интересует только её поведение вблизи.

Разобранный пример 3

Найдите $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

При $x \ne 2$ дробь сокращается: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \to 4$. Сама функция при $x = 2$ не определена, а предел есть.

Пределы на бесконечности

Аналогично определяют $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$. Если он равен $b$, прямая $y = b$ — горизонтальная асимптота графика. Например, $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x - 2} = 3$: на больших $x$ график гиперболы прижимается к прямой $y = 3$. Если же $f(x)$ неограниченно растёт при $x \to a$, прямая $x = a$ — вертикальная асимптота.

Первый замечательный предел

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad (x \text{ в радианах}).$

Для малых углов $\sin x \approx x$: при $x = 0{,}01$ отношение равно 0,99998. Этим пользуются физики (малые колебания маятника) и инженеры.

Разобранный пример 4

Найдите $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$.

$\frac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$.

Непрерывность

Функция непрерывна в точке $a$, если $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$: предел существует и равен значению. Наглядно: график можно провести, не отрывая карандаша. Все элементарные функции (многочлены, корни, тригонометрические, показательные, логарифмические) непрерывны на своих областях определения.

Точки разрыва бывают: устранимые (предел есть, но не равен значению или функция не определена — как в примере 3), скачок (пределы слева и справа различны), бесконечные ($\frac{1}{x}$ при $x \to 0$).

Разобранный пример 5

Функция $f(x) = x^2$ при $x < 1$ и $f(x) = x + 2$ при $x \ge 1$. Непрерывна ли она в точке 1?

Слева предел $1^2 = 1$, справа $1 + 2 = 3$. Пределы различны — скачок, функция разрывна.

Свойство непрерывных функций. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри есть корень. На этом основан метод интервалов: непрерывная функция может сменить знак только в нулях или точках разрыва.

Немного истории

Идея предела восходит к «методу исчерпывания» Евдокса и Архимеда, которые вычисляли площади, вписывая многоугольники. Ньютон и Лейбниц в XVII веке пользовались «бесконечно малыми», не определяя их строго, за что их критиковал епископ Беркли. Строгое определение через $\varepsilon$ дали Огюстен Коши (1821) и Карл Вейерштрасс (1860-е).

Типичные ошибки

• Подставлять $x = a$ в дробь, получая $\frac{0}{0}$, и считать, что предела нет. Нужно сначала упростить выражение.
• Считать, что предел функции в точке зависит от значения функции в этой точке.
• Применять $\frac{\sin x}{x} \to 1$ при $x$ в градусах.
• Думать, что «бесконечность» — число, с которым можно работать как с обычным.

Что дальше

• Производная. Правила дифференцирования — производная как предел разностного отношения.
• Асимптотика и сравнение роста функций — сравнение роста функций.
• Предел последовательности — предел последовательности в математическом анализе.