Тригонометрические уравнения и неравенства

Зачем это нужно

Когда маятник впервые окажется в заданной точке? В какие моменты напряжение в сети достигнет 200 В? Под каким углом бросить мяч, чтобы он пролетел нужное расстояние? Такие задачи сводятся к тригонометрическим уравнениям. Их особенность — бесконечно много корней: периодическая функция принимает каждое значение снова и снова. Тригонометрическое уравнение с отбором корней — одно из главных заданий профильного ЕГЭ (задание 13).

Простейшие уравнения

Почему корней бесконечно много. Решить уравнение $\sin x = a$ — значит найти точки пересечения синусоиды с горизонтальной прямой $y = a$. Синусоида бесконечна и периодична, поэтому при $|a| < 1$ точек пересечения бесконечно много: по две на каждом периоде длины $2\pi$. На единичной окружности это всего две точки, а «$+ 2\pi k$» означает, что к ним можно прийти, сделав любое число полных оборотов.

Частные случаи запоминают отдельно: $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$; $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$. При $|a| > 1$ уравнения $\sin x = a$ и $\cos x = a$ корней не имеют.

Формулу для синуса удобно записывать двумя сериями: $x = \arcsin a + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$. Так видно обе точки на окружности.

Разобранный пример 1

Решите $\cos x = \frac{1}{2}$. $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Разобранный пример 2

Решите $\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$. $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.

Основные методы

1. Сведение к квадратному.

Разобранный пример 3

Решите $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.

$t = \sin x$: $2t^2 - t - 1 = 0$, $t = 1$ или $t = -\frac{1}{2}$. Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Если в уравнении есть и синус, и косинус, одну функцию выражают через другую: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

2. Разложение на множители.

Разобранный пример 4

Решите $\sin 2x = \sin x$.

$2\sin x\cos x - \sin x = 0$, $\sin x(2\cos x - 1) = 0$. Либо $\sin x = 0$: $x = \pi k$; либо $\cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Нельзя делить обе части на $\sin x$ — так теряется серия корней $x = \pi k$.

3. Однородные уравнения. Уравнение $a\sin x + b\cos x = 0$ делят на $\cos x$ (проверив, что $\cos x = 0$ не даёт решений).

Разобранный пример 5

Решите $\sin x + \cos x = 0$. $\operatorname{tg} x = -1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

Однородное уравнение второй степени $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ делят на $\cos^2 x$ и получают квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$.

Разобранный пример 6

Решите $\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0$.

1. При $\cos x = 0$ получилось бы $\sin^2 x = 0$, но синус и косинус не обращаются в нуль одновременно. Значит, можно делить на $\cos^2 x$.
2. $\operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 = 0$, $\operatorname{tg} x = 1$ или $\operatorname{tg} x = 2$.
3. $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ или $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k$.

4. Вспомогательный угол. Уравнение $a\sin x + b\cos x = c$ приводят к виду $\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi) = c$.

Разобранный пример 7

Решите $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1$.

1. $\sqrt{1 + 3} = 2$: $2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$.
2. $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
3. $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Проверка $x = \frac{\pi}{2}$: $1 + 0 = 1$ — верно.

Отбор корней

Часто нужно найти корни на отрезке. Способы: по окружности (отметить серии и дугу отрезка), перебором $k$ или двойным неравенством.

Разобранный пример 8

Найдите корни $\cos x = \frac{1}{2}$ на $[0; 2\pi]$. Из серий $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ подходят $\frac{\pi}{3}$ ($k = 0$, знак «+») и $\frac{5\pi}{3}$ ($k = 1$, знак «−»).

Общая стратегия

1. Приведите все функции к одному аргументу (формулы двойного угла, приведения).
2. Приведите к одной функции, если возможно ($\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$).
3. Если получилась сумма, равная нулю, попробуйте разложить на множители.
4. Если уравнение однородное — делите на старшую степень косинуса.
5. Решите простейшие уравнения и запишите серии.
6. Учтите ОДЗ (например, $\cos x \ne 0$ для тангенса) и отберите корни, если указан промежуток.

Полезно проверить ответ в Desmos: постройте левую и правую части как функции и посмотрите, совпадают ли точки пересечения с найденными сериями. Ещё одна хорошая проверка — подставить в уравнение пару корней из каждой серии, например при $k = 0$ и $k = 1$.

Неравенства

Простейшие неравенства решают по окружности: отмечают точки, где достигается равенство, и выбирают нужную дугу, двигаясь против часовой стрелки.

Разобранный пример 9

Решите $\sin x > \frac{1}{2}$. Дуга от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Разобранный пример 10

Решите $\cos x \le 0$. Левая половина окружности: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Типичные ошибки

• Забывать вторую серию корней синуса или знак «±» у косинуса.
• Делить на выражение с переменной и терять корни.
• Писать решение для $\sin x = 2$: корней нет.
• Забывать $k \in \mathbb{Z}$ или использовать разные буквы небрежно, объединяя серии.
• В неравенствах записывать дугу «по часовой»: левый конец должен быть меньше правого.

Что дальше

• Тригонометрические тождества и преобразования — сложные преобразования для уравнений.
• Общие методы решения уравнений и неравенств. Задачи с параметром — уравнения с параметром.