Целые уравнения. Биквадратные уравнения

Зачем это нужно

Линейные и квадратные уравнения мы решать умеем. Но в задачах часто получаются уравнения третьей, четвёртой и более высоких степеней: объём коробки, сделанной из листа картона, выражается кубическим многочленом; в физике и экономике встречаются уравнения четвёртой степени. Общих формул для таких уравнений школьный курс не даёт, зато есть два мощных приёма — разложение на множители и замена переменной. Они нужны в ОГЭ (задание на уравнение второй части), в ЕГЭ и в высшей математике.

Целое уравнение и его степень

Целое уравнение — уравнение, обе части которого являются целыми выражениями (нет деления на выражение с переменной). Любое целое уравнение можно привести к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен стандартного вида. Степень уравнения — степень этого многочлена.

Важный факт: уравнение $n$-й степени имеет не больше $n$ корней.

Способ 1. Разложение на множители

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю (а остальные имеют смысл).

Разобранный пример 1

Решите $x^3 - 4x = 0$.

1. $x(x^2 - 4) = 0$, $x(x - 2)(x + 2) = 0$.
2. $x = 0$, $x = 2$, $x = -2$.

Разобранный пример 2

Решите $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$.

1. Группировка: $x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$.
2. $(x + 2)(x^2 - 9) = 0$, $(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0$.
3. Корни: $-2$, $3$, $-3$.

Ошибка: делить обе части $x^3 = 4x$ на $x$ — так теряется корень $x = 0$.

Способ 2. Введение новой переменной

Если в уравнении несколько раз повторяется одно и то же выражение, его обозначают новой буквой — уравнение упрощается.

Разобранный пример 3

Решите $(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$.

1. Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда $t^2 - 2t - 8 = 0$, откуда $t = 4$ или $t = -2$.
2. $x^2 - 3x = 4$: $x^2 - 3x - 4 = 0$, $x = 4$ или $x = -1$.
3. $x^2 - 3x = -2$: $x^2 - 3x + 2 = 0$, $x = 1$ или $x = 2$.
4. Ответ: $-1$, $1$, $2$, $4$.

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — уравнение вида

$ax^4 + bx^2 + c = 0, \qquad a \ne 0.$

Его решают заменой $t = x^2$, где $t \ge 0$:

1. Решаем квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$.
2. Отбрасываем отрицательные значения $t$ (квадрат не может быть отрицательным).
3. Для каждого $t > 0$ получаем $x = \pm\sqrt{t}$, для $t = 0$ — $x = 0$.

Биквадратное уравнение может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 корня.

Разобранный пример 4

Решите $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

1. $t = x^2$: $t^2 - 5t + 4 = 0$, $t = 1$ или $t = 4$.
2. $x^2 = 1$: $x = \pm 1$; $x^2 = 4$: $x = \pm 2$.
3. Ответ: $-2$, $-1$, $1$, $2$. График функции $y = x^4 - 5x^2 + 4$ пересекает ось $x$ ровно в этих точках.

Разобранный пример 5

Решите $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$.

1. $t^2 + 3t - 4 = 0$: $t = 1$ или $t = -4$.
2. $t = -4$ не подходит ($x^2 \ne -4$).
3. $x^2 = 1$: $x = \pm 1$.

Замена переменной в дробных уравнениях

Замена помогает и в уравнениях с дробями. Например, в уравнении $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}$ удобно умножить на $2x$ ($x \ne 0$): $2x^2 - 5x + 2 = 0$, откуда $x = 2$ или $x = \frac{1}{2}$. А уравнение $\dfrac{x^2 + 1}{x} + \dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{5}{2}$ решают заменой $t = \dfrac{x^2 + 1}{x}$: получаем $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$, то есть $t = 2$ или $t = \frac{1}{2}$; затем возвращаемся к $x$ и не забываем про допустимые значения.

Как выбрать способ

1. Перенесите всё в одну часть и посмотрите, есть ли общий множитель (часто это $x$ или $x^2$).
2. Если членов четыре — попробуйте группировку (первые два и последние два).
3. Если в уравнении есть повторяющееся выражение или только чётные степени $x$ — делайте замену.
4. Попробуйте подобрать корень среди делителей свободного члена: если $x = a$ — корень, многочлен делится на $(x - a)$ (подробнее — в 10 классе, теорема Безу).
5. Проверьте корни подстановкой.

История вопроса

Формулу для корней кубического уравнения нашли итальянские математики XVI века: Сципион дель Ферро и Никколо Тарталья; опубликовал её Джероламо Кардано в 1545 году, и с тех пор она называется формулой Кардано. Его ученик Лодовико Феррари решил уравнение четвёртой степени. А в XIX веке Нильс Абель и Эварист Галуа доказали, что для уравнений пятой и более высоких степеней общей формулы в радикалах не существует.

Типичные ошибки

• Делить обе части уравнения на выражение с переменной и терять корни.
• Забывать отбросить отрицательные значения $t = x^2$.
• После замены забывать вернуться к исходной переменной и записывать в ответ значения $t$.
• Терять знак «±» при извлечении корня: из $x^2 = 9$ получаем $x = \pm 3$.
• Ошибаться при группировке: выносить за скобки не общий множитель.

Что дальше

• Системы уравнений второй степени — системы уравнений второй степени.
• Многочлены. Теорема Безу и схема Горнера — теорема Безу и схема Горнера: поиск корней многочленов.
• Тригонометрические уравнения и неравенства — замена переменной в тригонометрических уравнениях.