Тригонометрические тождества и преобразования

Зачем это нужно

Умение быстро и уверенно преобразовывать тригонометрические выражения — это то, что отличает сильного ученика на профильном ЕГЭ и олимпиадах. Здесь мы соберём приёмы, которые выходят за рамки отдельных формул: как доказывать тождества, как вычислять «некрасивые» произведения вроде $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$, как выразить всё через одну переменную и как находить точные значения нестандартных углов. Эти навыки понадобятся в уравнениях, интегралах и физике.

Как доказывают тождества

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменной. Способы доказательства:

1. Преобразовать левую часть к правой (или наоборот).
2. Преобразовать обе части к одному выражению.
3. Показать, что разность частей равна нулю.

Важно не «решать» тождество как уравнение (переносить и возводить в квадрат обе части), а выполнять равносильные преобразования одной стороны. Каждое преобразование должно опираться на известную формулу, а в конце нужно указать, при каких значениях переменной тождество верно: там, где определены обе его части. Если хотя бы при одном допустимом значении равенство нарушается, это уже не тождество.

Разобранный пример 1

Докажите, что $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$.

$\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$ (при $\sin 2\alpha \ne 0$).

Разобранный пример 2

Упростите $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$.

Разность квадратов: $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = -\cos 2\alpha$.

Разобранный пример 3

Выразите $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$ через $\sin 2\alpha$.

Сумма кубов: $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^3 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2\alpha$.

Произведения косинусов

Приём «умножь на синус». Чтобы вычислить $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$, умножим и разделим на $\sin 20^\circ$ и будем «сворачивать» формулу двойного угла:

$\sin 20^\circ\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ = \frac{1}{2}\sin 40^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ = \frac{1}{4}\sin 80^\circ\cos 80^\circ = \frac{1}{8}\sin 160^\circ.$

Так как $\sin 160^\circ = \sin 20^\circ$, получаем $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$.

Тот же приём работает для любой цепочки удвоений: $\cos x\cos 2x\cos 4x\cdots\cos 2^{n-1}x = \frac{\sin 2^n x}{2^n \sin x}$. Например, $\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{8}$, ведь $\sin\frac{8\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7}$.

Выражение через тангенс

Однородные дроби. Если известен $\operatorname{tg}\alpha$, дробь, однородную по $\sin$ и $\cos$, делят на $\cos\alpha$ (или $\cos^2\alpha$).

Разобранный пример 4

$\operatorname{tg}\alpha = 3$. Найдите $\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$. Делим на $\cos\alpha$: $\frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$.

Универсальная подстановка. Пусть $t = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$. Тогда

$\sin\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{2t}{1 - t^2}.$

Она превращает любое выражение с $\sin$ и $\cos$ в рациональную функцию от $t$. Это удобно в уравнениях и в интегралах. Нужно лишь помнить, что при $\alpha = \pi + 2\pi k$ тангенс половинного угла не определён, и такие значения проверяют отдельно.

Разобранный пример 5

$\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = 2$. Найдите $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$. $\sin\alpha = \frac{4}{5}$, $\cos\alpha = \frac{1 - 4}{5} = -\frac{3}{5}$.

Точные значения: $\cos 36^\circ$

В треугольнике ACD стороны AD и CD равны 1, а AC = x, поэтому $\cos 36^\circ = \frac{x/2}{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \approx 0{,}809$. Число $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — знаменитое золотое сечение, оно же отношение диагонали правильного пятиугольника к его стороне.

Выражения с обратными функциями

Выражения вида $\sin(\arccos a)$ или $\cos(\operatorname{arctg} a)$ упрощают, вводя угол. Пусть $\varphi = \operatorname{arctg} 2$; тогда $\operatorname{tg}\varphi = 2$ и $\varphi \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, где косинус положителен. Из $1 + \operatorname{tg}^2\varphi = \frac{1}{\cos^2\varphi}$ получаем $\cos(\operatorname{arctg} 2) = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Так же $\sin(2\arcsin x) = 2x\sqrt{1 - x^2}$ при $|x| \le 1$.

Оценки

Многие задачи на наибольшее и наименьшее значение решаются преобразованием к одной функции. Например, $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$, поэтому значения этой суммы лежат в $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. А $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ никогда не превосходит $\frac{1}{2}$.

Тождества в треугольнике

Если $A + B + C = \pi$, выполняются красивые соотношения, например $\operatorname{tg}A + \operatorname{tg}B + \operatorname{tg}C = \operatorname{tg}A\operatorname{tg}B\operatorname{tg}C$ (для непрямоугольного треугольника). Для равностороннего: $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$ — верно. Доказательство: $\operatorname{tg}C = -\operatorname{tg}(A + B)$, затем формула тангенса суммы.

Стратегия упрощения

1. Посмотрите на аргументы: если они разные, приведите к одному.
2. Посмотрите на степени: высокие степени понижайте или раскладывайте как сумму или разность кубов и квадратов.
3. Если есть дробь, однородная по синусу и косинусу, переходите к тангенсу.
4. Ищите «скрытые» формулы: $1 \pm \sin 2\alpha = (\sin\alpha \pm \cos\alpha)^2$, $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$.
5. Проверьте ответ подстановкой нескольких значений угла.

Немного истории

Французский математик Франсуа Виет в XVI веке получил формулы для синуса и косинуса кратных углов и с их помощью решил уравнение 45-й степени, предложенное ему на спор. Леонард Эйлер открыл формулу $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$, из которой все тригонометрические тождества получаются как следствия правил действий со степенями.

Типичные ошибки

• Доказывать тождество, «решая» его как уравнение.
• Терять условия допустимости ($\cos\alpha \ne 0$ при делении).
• В приёме «умножь на синус» забывать разделить на тот же синус.
• Путать $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{1}{2}\operatorname{tg}\alpha$.
• Считать, что из совпадения при одном значении угла следует тождество. Проверка на одном значении может только опровергнуть.

Что дальше

• Тригонометрические уравнения и неравенства — применение преобразований к уравнениям.
• Производная сложной функции и элементарных функций — производные тригонометрических функций.