Тригонометрические формулы

Зачем это нужно

Тригонометрических формул много, и школьники часто пытаются их зазубрить. На самом деле почти все они выводятся из двух: косинуса и синуса суммы. Формулы нужны, чтобы упрощать выражения, решать уравнения, вычислять значения без калькулятора (например, $\sin 75^\circ$), а в физике — складывать колебания и описывать волны. В этой теме мы выведем формулы по цепочке и научимся ими пользоваться. Понимая, откуда берётся каждая формула, вы сможете восстановить забытую за минуту.

Формулы сложения

Вывод. Скалярное произведение векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ можно посчитать двумя способами: через координаты — $\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, и через длины и угол — $1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha - \beta)$. Отсюда

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta.$

Заменив $\beta$ на $-\beta$ и воспользовавшись формулами приведения, получаем остальные:

Разобранный пример 1

Вычислите $\sin 75^\circ$.

$\sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966$.

Как запомнить. В синусе суммы функции чередуются: «синус-косинус плюс косинус-синус», и знак тот же, что в аргументе. В косинусе суммы функции группируются: «косинус-косинус, синус-синус», а знак противоположный. Если сомневаетесь, проверьте формулу на простом случае, например $\alpha = \beta = 0$ или $\beta = \frac{\pi}{2}$.

Разобранный пример 2

$\operatorname{tg}\alpha = 2$, $\operatorname{tg}\beta = 3$, углы острые. Найдите $\alpha + \beta$.

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1$. Сумма двух острых углов лежит в $(0; \pi)$, а тангенс $-1$ там только у угла $\frac{3\pi}{4}$. Значит, $\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$.

Формулы двойного угла

Положим в формулах сложения $\beta = \alpha$:

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1,$

$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}.$

Из второй строки следуют формулы понижения степени:

$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}, \qquad \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}.$

Половинный угол. Подставив в формулы понижения $\frac{\alpha}{2}$ вместо $\alpha$, получаем $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$, $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$. Знак выбирают по четверти, в которой лежит угол $\frac{\alpha}{2}$. Например, $\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^\circ}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}924$.

Разобранный пример 3

$\sin\alpha = 0{,}6$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Найдите $\sin 2\alpha$ и $\cos 2\alpha$.

$\cos\alpha = 0{,}8$; $\sin 2\alpha = 2 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$; $\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot 0{,}36 = 0{,}28$.

Разобранный пример 4

Вычислите $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$. Это $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Разобранный пример 5

Упростите $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$.

$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$ (при $\cos\alpha \ne 0$).

Суммы и произведения

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}, \qquad \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2},$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}.$

Обратные формулы: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right)$ и т. д.

Разобранный пример 6

Вычислите $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$. $2\sin 45^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Вспомогательный угол

Выражение $a\sin x + b\cos x$ можно записать одной синусоидой:

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(x + \varphi), \quad \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$

Разобранный пример 7

Найдите наибольшее значение $3\sin x + 4\cos x$. $\sqrt{9 + 16} = 5$, а синус не больше 1, поэтому наибольшее значение 5.

В физике это сложение колебаний одной частоты: их сумма — снова колебание той же частоты с амплитудой $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Как выбрать формулу

При упрощении выражений полезно задавать себе несколько вопросов.

1. Есть ли разные аргументы? Если встречаются $2\alpha$ и $\alpha$, приведите всё к одному аргументу формулами двойного угла.
2. Есть ли квадраты? Квадраты синуса и косинуса часто понижают: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. Или используют $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
3. Есть ли сумма функций? Сумму синусов или косинусов можно превратить в произведение. Это удобно, когда нужно приравнять выражение к нулю.
4. Есть ли выражение вида $a\sin x + b\cos x$? Тогда поможет вспомогательный угол.
5. Есть ли «неудобный» угол вроде $75^\circ$ или $15^\circ$? Разложите его на сумму или разность табличных углов.

Хорошая привычка — после преобразования проверить результат, подставив простое значение угла, например $\alpha = 0$ или $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Формулы в физике

Дальность полёта камня, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v$, равна $L = \frac{v^2 \sin 2\alpha}{g}$. Формула двойного угла сразу показывает, что дальность наибольшая при $\sin 2\alpha = 1$, то есть при $\alpha = 45^\circ$, и что углы $30^\circ$ и $60^\circ$ дают одинаковую дальность. Формулы суммы синусов объясняют биения: два звука близких частот складываются в звук, громкость которого периодически нарастает и спадает.

Немного истории

Формулы сложения по существу знал ещё Птолемей во II веке: с их помощью он составил таблицу хорд, предшественницу таблицы синусов. Современный вид тригонометрии с функциями синус и косинус придал Леонард Эйлер в XVIII веке. Он же показал, что все формулы сложения следуют из одного равенства, связывающего тригонометрию с показательной функцией.

Типичные ошибки

• Писать $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$.
• Путать знаки: в $\cos(\alpha + \beta)$ стоит минус.
• Выбирать не ту форму $\cos 2\alpha$: если известен только синус, удобнее $1 - 2\sin^2\alpha$.
• Забывать про знак корня в формулах половинного угла.
• В методе вспомогательного угла неправильно находить $\varphi$: нужно учитывать знаки $a$ и $b$.

Что дальше

• Тригонометрические уравнения и неравенства — тригонометрические уравнения.
• Тригонометрические тождества и преобразования — сложные преобразования и тождества.