Радианная мера. Синус, косинус, тангенс числа

Зачем это нужно

В геометрии синус и косинус определялись для углов треугольника — от 0° до 180°. Но колесо может повернуться на 720°, маятник отклоняется то в одну, то в другую сторону, а переменный ток меняет знак 50 раз в секунду. Чтобы описывать периодические процессы, тригонометрические функции нужно определить для любого угла и даже для любого действительного числа. Для этого используют единичную окружность и радианную меру угла — естественную единицу, в которой записываются все формулы физики и математического анализа.

Радианная мера

Радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Так как длина окружности $2\pi R$, полный угол равен $2\pi$ радиан:

$\pi \text{ рад} = 180^\circ, \qquad 1 \text{ рад} \approx 57{,}3^\circ.$

Перевод: $\alpha_{\text{рад}} = \frac{\pi}{180} \cdot \alpha^\circ$. Например, $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$, $150^\circ = \frac{5\pi}{6}$.

В радианах формулы особенно просты: длина дуги $l = R\alpha$, площадь сектора $S = \frac{R^2 \alpha}{2}$.

Разобранный пример 1

Переведите $\frac{3\pi}{4}$ в градусы и найдите длину дуги с таким углом при $R = 8$.

$\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$; $l = 8 \cdot \frac{3\pi}{4} = 6\pi \approx 18{,}8$.

Единичная окружность

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Повернём точку $(1; 0)$ на угол $\alpha$: против часовой стрелки при $\alpha > 0$, по часовой — при $\alpha < 0$. Получим точку $P_\alpha$.

Определения:

$\cos \alpha = x_P, \qquad \sin \alpha = y_P, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$

Повороты на $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$ дают одну и ту же точку, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha$, $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha$.

Тригонометрические функции числа

Каждому действительному числу $t$ соответствует точка единичной окружности: «намотаем» числовую прямую на окружность, начиная с точки $(1; 0)$, положительную полуось — против часовой стрелки. Тогда $\sin t$ и $\cos t$ определены для любого числа $t$. Именно так тригонометрические функции становятся функциями числового аргумента, и их можно складывать, дифференцировать и строить графики, как обычные функции.

Значения для основных углов

Как запомнить. Значения синуса для углов $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ образуют красивую последовательность: $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$. Косинусы — та же последовательность в обратном порядке. Остальные углы окружности получаются из этих симметрией относительно осей.

Разобранный пример 4

Определите знак $\sin 4$ (угол в радианах).

$\pi \approx 3{,}14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$, значит, угол 4 рад лежит в III четверти, где синус отрицателен: $\sin 4 < 0$. Здесь важно не путать 4 радиана с 4 градусами.

Основные тождества

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1, \qquad 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}.$

Первое — это теорема Пифагора для точки $P$: $x^2 + y^2 = 1$.

Чётность: $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$, $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$.

Разобранный пример 2

Известно, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Найдите $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$.

1. $\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
2. Во II четверти косинус отрицателен: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.
3. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.

Формулы приведения

Выражения вида $\sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\right)$, $\cos(\pi \pm \alpha)$ и т. п. сводятся к функциям угла $\alpha$ по правилу:

1. Если в формуле стоит $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на «кофункцию» (синус на косинус, тангенс на котангенс); если $\pi$ или $2\pi$ — не меняется.
2. Знак берётся такой, какой имеет исходная функция в соответствующей четверти, считая $\alpha$ острым углом.

Примеры: $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$, $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha$.

Разобранный пример 3

Вычислите $\sin \frac{7\pi}{6}$ и $\cos \frac{2\pi}{3}$.

$\sin \frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$; $\cos \frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

Немного истории

Слово «синус» возникло из череды переводов. Индийские математики называли полухорду «джива» (тетива лука). Арабы записали это слово согласными «джб», и позднее его прочли как «джайб» — «пазуха». В XII веке переводчик на латынь передал его словом sinus, что также значит «пазуха» или «изгиб». Термин «радиан» появился лишь в 1873 году, хотя саму меру использовали ещё Эйлер и Котс.

Типичные ошибки

• Путать, какая координата — синус, а какая — косинус: косинус по оси $x$, синус по оси $y$.
• Забывать про знак при нахождении косинуса через синус.
• Смешивать градусы и радианы в одном вычислении (калькулятор в неверном режиме).
• В формулах приведения определять знак по новой функции, а не по исходной.
• Считать, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{2} = \infty$: тангенс в этой точке просто не определён.

Что дальше

• Тригонометрические формулы — формулы сложения и двойного угла.
• Тригонометрические функции и их графики — графики синуса, косинуса и тангенса.