Тригонометрические функции и их графики

Зачем это нужно

Приливы и отливы, смена времён года, колебания маятника, переменный ток в розетке, звуковые волны — всё это периодические процессы. Их естественный язык — функции синус и косинус. График синуса, синусоида, — одна из самых важных кривых в науке: любой периодический сигнал можно разложить на сумму синусоид (на этом основаны сжатие музыки в MP3 и обработка изображений). В этой теме мы изучим свойства тригонометрических функций, их графики и преобразования, а также познакомимся с обратными функциями — арксинусом, арккосинусом и арктангенсом.

Периодичность и чётность

Функция $f$ называется периодической с периодом $T \ne 0$ , если $f(x + T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Наименьший положительный период:

у $\sin x$ и $\cos x$ — $2\pi$ (полный оборот по окружности);
у $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ — $\pi$ .

Чётность: $\cos x$ — чётная (график симметричен относительно оси $y$ ), $\sin x$ и $\operatorname{tg} x$ — нечётные (график симметричен относительно начала координат).

Графики и свойства

Слева синусоида и косинусоида на промежутке от −2π до 2π, колеблются между −1 и 1; справа ветви тангенса между вертикальными асимптотами

Свойство	$y = \sin x$	$y = \cos x$	$y = \operatorname{tg} x$
область определения	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$
множество значений	$[-1; 1]$	$[-1; 1]$	$\mathbb{R}$
период	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
нули	$x = \pi k$	$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$	$x = \pi k$
максимум 1 при	$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$	$x = 2\pi k$	—
возрастает на	$\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$	$[-\pi + 2\pi k; 2\pi k]$	каждом интервале области определения

Связь графиков: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ , то есть косинусоида — это синусоида, сдвинутая на $\frac{\pi}{2}$ влево.

Разобранный пример 1

Сравните $\sin 1$ и $\sin 2$ .

$\sin 2 = \sin(\pi - 2) \approx \sin 1{,}14$ . На $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ синус возрастает, а $1 < 1{,}14$ , значит, $\sin 1 < \sin 2$ .

Преобразования графиков

График $y = A\sin(kx + b) + c$ получается из синусоиды:

$|A|$ — амплитуда (растяжение вдоль оси $y$ ), при $A < 0$ — ещё и отражение;
$T = \frac{2\pi}{|k|}$ — период (сжатие вдоль оси $x$ в $|k|$ раз);
сдвиг по оси $x$ на $-\frac{b}{k}$ ;
сдвиг по оси $y$ на $c$ .

Как построить синусоиду

Удобно строить график по пяти ключевым точкам на одном периоде: начало, четверть, середина, три четверти и конец периода. Для $y = \sin x$ это точки $(0; 0)$ , $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$ , $(\pi; 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right)$ , $(2\pi; 0)$ . Соедините их плавной волной и повторите её влево и вправо с шагом $2\pi$ . Для $y = A\sin(kx + b) + c$ сначала найдите период и сдвиг, разделите период на четыре части и поставьте точки на уровнях $c$ , $c + A$ , $c$ , $c - A$ , $c$ .

Разобранный пример 2

Опишите график $y = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ .

Амплитуда 3, период $\frac{2\pi}{2} = \pi$ , сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$ , вверх на 1. Множество значений: $[1 - 3; 1 + 3] = [-2; 4]$ .

Разобранный пример 3

Найдите множество значений $y = 2\cos x - 1$ . $\cos x \in [-1; 1]$ , значит, $y \in [-3; 1]$ .

Обратные тригонометрические функции

Синус на $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ возрастает и принимает каждое значение из $[-1; 1]$ ровно один раз. Поэтому определена обратная функция:

$\arcsin a$ — число из $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ , синус которого равен $a$ ( $|a| \le 1$ );
$\arccos a$ — число из $[0; \pi]$ , косинус которого равен $a$ ;
$\operatorname{arctg} a$ — число из $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ , тангенс которого равен $a$ .

Разобранный пример 4

$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ ; $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ ; $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ . Полезные свойства: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$ , $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$ .

Гармонические колебания

Закон $x = A\sin(\omega t + \varphi_0)$ описывает гармонические колебания: $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $T = \frac{2\pi}{\omega}$ — период, $\varphi_0$ — начальная фаза. Напряжение в розетке: $U = 311\sin(100\pi t)$ В — амплитуда 311 В, частота 50 Гц. Привычные «220 вольт» — это действующее значение: амплитуда, делённая на $\sqrt{2}$ . Так синусоида описывает реальные приборы, которыми мы пользуемся каждый день.

Период суммы

Если сложить две периодические функции, период суммы — наименьшее общее кратное их периодов (если оно существует). Например, у $\sin 2x$ период $\pi$ , у $\cos 3x$ — $\frac{2\pi}{3}$ ; общее кратное — $2\pi$ , и это период функции $\sin 2x + \cos 3x$ . А функция $\sin x + \sin(\sqrt{2}x)$ вообще не периодична: периоды $2\pi$ и $\sqrt{2}\pi$ несоизмеримы.

Немного истории

В 1807 году Жозеф Фурье, изучая распространение тепла, показал, что почти любую периодическую функцию можно представить суммой синусов и косинусов кратных частот. Эта идея — ряды Фурье — лежит в основе современной обработки звука, изображений и радиосигналов.

Типичные ошибки

Считать период $y = \sin 2x$ равным $4\pi$ вместо $\pi$ .
Сдвигать график $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ на $\frac{\pi}{3}$ , а не на $\frac{\pi}{6}$ .
Думать, что $\arcsin \frac{1}{2}$ — это все углы с синусом $\frac{1}{2}$ ; арксинус — одно число из $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ .
Записывать $\arccos(-a) = -\arccos a$ .
Забывать, что тангенс не определён в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$ .

Что дальше

Тригонометрические уравнения и неравенства — тригонометрические уравнения и неравенства.
Тригонометрические тождества и преобразования — преобразования тригонометрических выражений.