Действительные числа — Ranimus, Ветвь разума

Зачем это нужно

В курсе старшей школы мы будем работать с корнями, степенями с дробными показателями, логарифмами, тригонометрическими функциями. Почти все их значения — иррациональные числа: $\sqrt{2}$ , $\log_2 3$ , $\sin 1$ . Чтобы уверенно с ними обращаться, нужно понимать, как устроено множество действительных чисел: какие числа в него входят, как они записываются и почему каждой точке числовой прямой соответствует число. Это фундамент всего курса алгебры и начал анализа.

Числовые множества

Вложенные множества: натуральные N внутри целых Z, внутри рациональных Q, внутри действительных R; иррациональные числа √2, π, e лежат в R вне Q

Множество	Обозначение	Примеры
натуральные	$\mathbb{N}$	$1, 2, 3, \ldots$
целые	$\mathbb{Z}$	$\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
рациональные	$\mathbb{Q}$	$\frac{m}{n}$ , где $m \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$
действительные	$\mathbb{R}$	все бесконечные десятичные дроби

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$

Рациональные числа и периодические дроби

Каждое рациональное число записывается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью: $\frac{1}{4} = 0{,}25$ , $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$ , $\frac{1}{7} = 0{,}(142857)$ . Верно и обратное: любая периодическая дробь — рациональное число.

Разобранный пример 1

Запишите $0{,}(27)$ обыкновенной дробью.

Пусть $x = 0{,}2727\ldots$ Тогда $100x = 27{,}2727\ldots$
Вычитаем: $99x = 27$ , $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ .

Разобранный пример 2

Запишите $0{,}2(3)$ обыкновенной дробью.

$x = 0{,}2333\ldots$ , $10x = 2{,}333\ldots$ , $100x = 23{,}333\ldots$
$90x = 21$ , $x = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$ .

Тот же результат даёт бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: $0{,}(3) = 0{,}3 + 0{,}03 + \ldots = \frac{0{,}3}{1 - 0{,}1} = \frac{1}{3}$ . Её сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$ при $|q| < 1$ . Отсюда, кстати, следует удивительное равенство $0{,}(9) = \frac{0{,}9}{0{,}9} = 1$ .

Иррациональные числа

Числа, которые записываются бесконечными непериодическими дробями, называются иррациональными: $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ , $\pi = 3{,}14159\ldots$ , $e = 2{,}71828\ldots$

Разобранный пример 3 (доказательство)

Докажите, что $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Предположим противное: $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ , где дробь несократима.
Тогда $m^2 = 2n^2$ , значит, $m^2$ чётно, а потому чётно и $m$ : $m = 2k$ .
Подставляем: $4k^2 = 2n^2$ , $n^2 = 2k^2$ — значит, $n$ тоже чётно.
Но тогда дробь $\frac{m}{n}$ сократима на 2 — противоречие. ∎

Так же доказывается иррациональность $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ и вообще $\sqrt{n}$ , если $n$ — не точный квадрат.

Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе. Между действительными числами и точками координатной прямой есть взаимно однозначное соответствие: каждой точке отвечает ровно одно число, и наоборот. Поэтому прямую называют числовой.

Свойства действительных чисел

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме деления на нуль), и при этом выполняются привычные законы: переместительный, сочетательный, распределительный. Множество $\mathbb{R}$ упорядочено: любые два числа можно сравнить. Кроме того, оно непрерывно: на числовой прямой нет «дыр». Именно поэтому уравнение $x^2 = 2$ имеет решение в $\mathbb{R}$ , но не имеет его в $\mathbb{Q}$ .

Модуль и промежутки

Модуль числа: $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$ . Геометрически $|a - b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$ на прямой.

Запись	Промежуток	Неравенство
$[a; b]$	отрезок	$a \le x \le b$
$(a; b)$	интервал	$a < x < b$
$[a; +\infty)$	луч	$x \ge a$
$(-\infty; b)$	открытый луч	$x < b$

Разобранный пример 4

Решите неравенство $|x - 3| \le 2$ .

Расстояние от $x$ до 3 не больше 2: $1 \le x \le 5$ , то есть $x \in [1; 5]$ .

Сравнение и преобразование иррациональных выражений

Сравнивать иррациональные числа удобно, возводя в квадрат положительные выражения.

Разобранный пример 5

Что больше: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ или $\sqrt{10}$ ?

Оба числа положительны, сравним квадраты: $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$ и $10$ .
Сравниваем $2\sqrt{6}$ и $5$ , то есть $\sqrt{24}$ и $\sqrt{25}$ : $\sqrt{24} < 5$ .
Значит, $\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{10}$ .

Иррациональность в знаменателе устраняют умножением на сопряжённое выражение: $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ .

Приближённые значения

На практике иррациональные числа заменяют приближениями. Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений, относительная — её отношение к модулю числа. Для $\pi \approx 3{,}14$ абсолютная погрешность около $0{,}0016$ , относительная — около $0{,}05\,\%$ . Инженеру этого обычно хватает, а для расчёта орбит космических аппаратов NASA использует около 15 знаков числа $\pi$ .

Немного истории

Пифагорейцы считали, что всё в мире выражается отношениями целых чисел. Открытие несоизмеримости диагонали и стороны квадрата (то есть иррациональности $\sqrt{2}$ ) стало для них потрясением. Строгую теорию действительных чисел построили лишь в XIX веке Рихард Дедекинд и Георг Кантор.

Типичные ошибки

Считать $0{,}(9)$ меньше 1.
Думать, что сумма или произведение иррациональных чисел всегда иррациональны: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ .
Путать квадратные и круглые скобки в записи промежутков.
Писать $|a - b| = |a| - |b|$ .
При переводе дроби вида $0{,}2(3)$ умножать только на 10 и забывать про непериодическую часть.

Что дальше

Степень с рациональным показателем. Иррациональные уравнения — корни $n$ -й степени и степени с рациональным показателем.
Радианная мера. Синус, косинус, тангенс числа — радианная мера: углы как действительные числа.
Предел последовательности и функции. Непрерывность — пределы последовательностей.