Системы линейных уравнений с двумя переменными

Зачем это нужно

«За 3 тетради и 2 ручки заплатили 135 рублей, а за 2 тетради и 3 ручки — 140. Сколько стоит тетрадь и сколько ручка?» Здесь два неизвестных и два условия. Каждое условие — уравнение, а вместе они образуют систему уравнений. Многие задачи гораздо проще записать системой, чем одним уравнением.

Системы линейных уравнений — один из самых практичных разделов математики: ими решают задачи экономики и планирования, расчёта электрических цепей, химии (уравнивание реакций), компьютерной графики. В вузе системы из сотен и тысяч уравнений изучает линейная алгебра — а начинается всё с двух уравнений и двух неизвестных.

Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид $ax + by = c$. Например, $2x + y = 7$.

Решение такого уравнения — пара чисел $(x; y)$, обращающая его в верное равенство: $(1; 5)$, $(3; 1)$, $(0; 7)$ — решения уравнения $2x + y = 7$. Решений бесконечно много.

График уравнения $ax + by = c$ (если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно) — прямая. Выразив $y$, получаем знакомую линейную функцию: $y = 7 - 2x$.

Система уравнений

Системой называют несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Записывают фигурной скобкой:

$\begin{cases} 2x + y = 7, \\ x - y = 2. \end{cases}$

Решение системы — пара чисел, которая является решением каждого уравнения. Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.

Графический способ

Построим графики обоих уравнений: каждое — прямая. Решение системы — точка пересечения прямых.

Здесь $y = 7 - 2x$ и $y = x - 2$ пересекаются в точке $(3; 1)$.

Сколько решений может быть у системы?

Графический способ нагляден, но часто неточен — точка пересечения может иметь дробные координаты. Поэтому чаще используют алгебраические способы.

Способ подстановки

1. Из одного уравнения выразить одну переменную через другую.
2. Подставить это выражение в другое уравнение — получится уравнение с одной переменной.
3. Решить его.
4. Найти вторую переменную.

Разобранный пример 1

Решите систему $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ x - y = 2. \end{cases}$

1. Из второго: $x = y + 2$.
2. Подставим в первое: $2(y + 2) + y = 7$, $3y + 4 = 7$, $y = 1$.
3. $x = 1 + 2 = 3$.
4. Проверка: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ ✓; $3 - 1 = 2$ ✓.

Ответ: $(3; 1)$.

Выражать удобнее ту переменную, у которой коэффициент 1 или −1, — тогда не появятся дроби.

Способ сложения

1. Умножить уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.
2. Сложить уравнения почленно — эта переменная исчезнет.
3. Решить полученное уравнение и найти вторую переменную.

Разобранный пример 2

Решите систему $\begin{cases} 3x + 2y = 16, \\ 5x - 3y = 14. \end{cases}$

1. Сделаем коэффициенты при $y$ противоположными: умножим первое уравнение на 3, второе — на 2: $9x + 6y = 48$ и $10x - 6y = 28$.
2. Сложим почленно: $19x = 76$, $x = 4$.
3. Подставим в первое: $12 + 2y = 16$, $y = 2$.
4. Проверка: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16$ ✓; $5 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 14$ ✓.

Ответ: $(4; 2)$.

Решения систем не обязаны быть целыми: если получилась дробь, это нормально — главное, чтобы проверка сходилась.

Разобранный пример 3 (задача)

За 3 тетради и 2 ручки заплатили 135 рублей, а за 2 тетради и 3 ручки — 140 рублей. Сколько стоят тетрадь и ручка?

1. Пусть тетрадь стоит $x$ рублей, ручка — $y$. Система: $\begin{cases} 3x + 2y = 135, \\ 2x + 3y = 140. \end{cases}$
2. Сложим уравнения: $5x + 5y = 275$, то есть $x + y = 55$.
3. Вычтем из второго первое: $-x + y = 5$, то есть $y = x + 5$.
4. $x + x + 5 = 55$, $x = 25$, $y = 30$.
5. Проверка: $75 + 60 = 135$ ✓; $50 + 90 = 140$ ✓.

Ответ: тетрадь — 25 рублей, ручка — 30 рублей.

Как выбрать способ

• Если одна переменная легко выражается (коэффициент ±1) — подстановка.
• Если коэффициенты при одной переменной равны или противоположны (или легко уравниваются) — сложение.
• Если нужно понять, сколько решений, — представьте прямые: сравните угловые коэффициенты.

История вопроса

Системы линейных уравнений решали ещё в Древнем Китае: в трактате «Математика в девяти книгах» (около II века до н. э.) описан способ, по сути совпадающий с методом последовательного исключения неизвестных. В Европе этот метод систематизировал Карл Фридрих Гаусс в начале XIX века, и сегодня его называют методом Гаусса.

Типичные ошибки

• Подставлять выражение в то же уравнение, из которого переменную выразили, — получится тождество.
• При умножении уравнения на число умножать не все члены (забыть правую часть).
• Складывать уравнения, когда коэффициенты равны (а не противоположны), — нужно вычитать.
• Записывать ответ одним числом, а не парой $(x; y)$.
• Путать порядок в паре: сначала $x$, потом $y$.

Что дальше

• Системы уравнений второй степени — системы, где уравнения не линейные (например, $x^2 + y^2 = 25$).
• Матрицы и операции над ними — в вузовской линейной алгебре системы записывают матрицами и решают методом Гаусса.