Линейная функция и её график

Зачем это нужно

Такси стоит 100 рублей за посадку плюс 30 рублей за километр. Бак с 40 литрами бензина расходует 8 литров в час. Свеча длиной 20 см сгорает на 2 см в час. Во всех случаях одна величина меняется равномерно при изменении другой, и зависимость записывается формулой вида $y = kx + b$. Такую функцию называют линейной, а её график — прямая.

Линейная функция — самая простая и самая распространённая. Её используют в физике (равномерное движение $x = x_0 + vt$), экономике (тарифы), статистике (линейная регрессия). А умение строить и читать прямые на плоскости понадобится для систем уравнений и неравенств.

Определение

Линейной функцией называют функцию вида

$y = kx + b,$

где $k$ и $b$ — числа, $x$ — аргумент. Область определения — все числа.

Примеры: $y = 2x + 1$ ($k = 2$, $b = 1$); $y = -x$ ($k = -1$, $b = 0$); $y = 5$ ($k = 0$, $b = 5$).

График линейной функции — прямая. Поэтому для построения достаточно двух точек.

Разобранный пример 1

Постройте график $y = 2x + 1$.

1. Возьмём $x = 0$: $y = 1$ — точка $(0; 1)$.
2. Возьмём $x = 2$: $y = 5$ — точка $(2; 5)$.
3. Проведём прямую через эти точки.
4. Проверка третьей точкой: $x = -1$, $y = -1$ — точка $(-1; -1)$ лежит на прямой.

Прямая пропорциональность

Частный случай $b = 0$: $y = kx$ — прямая пропорциональность. Её график всегда проходит через начало координат $(0; 0)$. Достаточно найти одну точку, например при $x = 1$: $y = k$.

Смысл коэффициентов

Коэффициент $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = b$.

Коэффициент $k$ называют угловым коэффициентом. Он определяет наклон прямой:

Чем больше $|k|$, тем «круче» прямая. Смысл $k$: на сколько изменяется $y$, когда $x$ увеличивается на 1. Для $y = 2x + 1$ каждый шаг вправо на 1 даёт подъём на 2.

Взаимное расположение прямых

Пусть даны $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$.

• Если $k_1 = k_2$ и $b_1 \ne b_2$ — прямые параллельны.
• Если $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$ — прямые совпадают.
• Если $k_1 \ne k_2$ — прямые пересекаются (в одной точке).

Разобранный пример 2

Найдите координаты точки пересечения прямых $y = 2x - 1$ и $y = -x + 5$.

1. В точке пересечения ординаты равны: $2x - 1 = -x + 5$.
2. $3x = 6$, $x = 2$.
3. $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.
4. Проверка во второй функции: $-2 + 5 = 3$. Верно.

Ответ: $(2; 3)$.

Разобранный пример 3

Свеча длиной 20 см сгорает на 2 см в час. Запишите формулу длины $L$ через время $t$ и найдите, когда свеча сгорит.

1. За $t$ часов сгорает $2t$ см: $L = 20 - 2t$ — линейная функция с $k = -2$, $b = 20$.
2. Свеча сгорит, когда $L = 0$: $20 - 2t = 0$, $t = 10$ ч.
3. Область определения по смыслу: $0 \le t \le 10$; график — отрезок, а не вся прямая.

Ответ: $L = 20 - 2t$; через 10 ч.

Как найти $k$ и $b$ по графику

1. $b$ — точка пересечения с осью $Oy$.
2. $k$ — возьмите две точки графика с «хорошими» координатами и разделите изменение $y$ на изменение $x$: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Линейная функция в физике

При равномерном движении координата тела меняется по закону $x = x_0 + vt$: это линейная функция времени, где $x_0$ — начальная координата (свободный член), а скорость $v$ — угловой коэффициент. Поэтому по графику координаты можно сразу найти скорость — это наклон прямой.

История вопроса

Связь прямой линии с уравнением первой степени открыли Рене Декарт и Пьер Ферма в XVII веке, создав аналитическую геометрию. Именно тогда стало ясно, что любое уравнение $y = kx + b$ задаёт прямую, а любая невертикальная прямая — такое уравнение.

Типичные ошибки

• Путать роли коэффициентов: считать, что $b$ отвечает за наклон.
• Считать, что $y = 2x$ не линейная функция (это линейная, $b = 0$).
• Строить график по одной точке (кроме случая $y = kx$, где вторая точка — начало координат).
• Ошибаться в знаке $k$ при определении возрастания или убывания.
• Путать вертикальную прямую $x = a$ (не функция) с горизонтальной $y = b$ (функция с $k = 0$).

Что дальше

• Системы линейных уравнений с двумя переменными — точка пересечения двух прямых — решение системы двух линейных уравнений.
• Квадратичная функция и её график — следующая важная функция: $y = ax^2 + bx + c$.
• Кинематика. Равноускоренное движение — в физике график координаты при равномерном движении — прямая.
• Корреляция и основы регрессии — линейная регрессия: прямая, наилучшим образом описывающая данные.