Системы уравнений второй степени

Зачем это нужно

Периметр прямоугольного участка 34 м, а его диагональ 13 м. Каковы стороны? Обозначив их $x$ и $y$, получаем систему: $x + y = 17$ и $x^2 + y^2 = 169$. Второе уравнение — второй степени, и система уже не линейная. Такие системы возникают в геометрии, физике (столкновения, движение), экономике, а в ОГЭ есть задание с системой во второй части. Мы научимся решать их графически и аналитически.

Уравнение с двумя переменными и его график

Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел $(x; y)$, обращающая его в верное равенство. График уравнения — множество всех точек, координаты которых являются решениями. Полезно помнить графики:

Графический способ

Строим графики обоих уравнений; координаты точек пересечения — решения системы. Способ наглядно показывает число решений, но координаты часто получаются лишь приближённо.

Способ подстановки

1. Из линейного уравнения выразите одну переменную через другую.
2. Подставьте во второе уравнение — получится уравнение с одной переменной.
3. Решите его и найдите вторую переменную.

Разобранный пример 1

Решите систему $\begin{cases} x + y = 7, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$

1. $y = 7 - x$.
2. $x^2 + (7 - x)^2 = 25$, $2x^2 - 14x + 49 - 25 = 0$, $x^2 - 7x + 12 = 0$.
3. $x = 3$ или $x = 4$; тогда $y = 4$ или $y = 3$.
4. Ответ: $(3; 4)$, $(4; 3)$ — как на рисунке.

Способ сложения и другие приёмы

Иногда удобно сложить или вычесть уравнения, чтобы исчезли квадраты или произведения.

Разобранный пример 2

Решите систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x^2 - y^2 = 8. \end{cases}$

1. Сложим: $2x^2 = 18$, $x^2 = 9$, $x = \pm 3$.
2. Вычтем: $2y^2 = 2$, $y = \pm 1$.
3. Ответ: четыре пары $(3; 1)$, $(3; -1)$, $(-3; 1)$, $(-3; -1)$.

Разобранный пример 3 (через теорему Виета)

Решите систему $\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases}$

Числа $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$, то есть $2$ и $3$. Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

Задачи, сводящиеся к системам

Разобранный пример 4

Периметр прямоугольника 34 м, диагональ 13 м. Найдите стороны.

1. $x + y = 17$, $x^2 + y^2 = 169$.
2. $y = 17 - x$; $x^2 + (17 - x)^2 = 169$; $x^2 - 17x + 60 = 0$.
3. $x = 5$ или $x = 12$. Стороны 5 м и 12 м. Проверка: $5^2 + 12^2 = 169$.

Сколько решений может быть

В отличие от линейных систем, система второй степени может иметь 0, 1, 2, 3, 4 решения (а иногда и бесконечно много). Графический взгляд помогает заранее понять, чего ожидать:

• прямая и окружность — 0, 1 (касание) или 2 общие точки;
• прямая и парабола — 0, 1 или 2;
• окружность и парабола — от 0 до 4;
• две окружности — 0, 1, 2 или бесконечно много (если совпадают).

Разобранный пример 5

При каких $c$ прямая $y = c$ имеет с окружностью $x^2 + y^2 = 9$ ровно одну общую точку?

Прямая $y = c$ горизонтальна; она касается окружности радиуса 3 с центром в начале координат, когда $c = 3$ или $c = -3$. При $|c| < 3$ — две точки, при $|c| > 3$ — ни одной.

Симметричные системы

Если система не меняется при перестановке $x$ и $y$ (например, содержит $x + y$, $xy$, $x^2 + y^2$), удобна замена $u = x + y$, $v = xy$. Полезные тождества:

$x^2 + y^2 = u^2 - 2v, \qquad x^3 + y^3 = u^3 - 3uv.$

Найдя $u$ и $v$, числа $x$ и $y$ получают как корни уравнения $t^2 - ut + v = 0$ (теорема Виета). Так решаются многие олимпиадные и экзаменационные задачи.

Алгоритм выбора способа

1. Есть линейное уравнение — подстановка.
2. Уравнения содержат только $x^2$ и $y^2$ — сложение и вычитание.
3. Есть $x + y$ и $xy$ — теорема Виета или замена.
4. Нужно только число решений — графический способ.

История вопроса

Задачи, сводящиеся к системам второй степени, встречаются уже в вавилонских текстах: «длина и ширина прямоугольника в сумме дают столько-то, а площадь такая-то — найдите стороны». Вавилоняне решали их, вводя полусумму и полуразность сторон, — по сути, тот же приём, что теорема Виета. В «Арифметике» Диофанта (III век) много задач на системы вида $x + y = a$, $x^2 + y^2 = b$.

Типичные ошибки

• Записывать в ответ только значения $x$, забывая найти $y$.
• Не учитывать, что каждому $x$ соответствует своё $y$: ответ — пары чисел.
• Терять решения при извлечении корня: $x^2 = 9$ даёт $x = \pm 3$.
• Выражать переменную из нелинейного уравнения, когда есть линейное — расчёты становятся сложнее.
• Не проверять решения подстановкой в оба уравнения.

Что дальше

• Многочлены. Теорема Безу и схема Горнера — многочлены от одной переменной.