Формулы сокращённого умножения

Зачем это нужно

Некоторые произведения многочленов встречаются так часто, что их результат выгодно запомнить готовым, чтобы не перемножать каждый раз почленно. Это формулы сокращённого умножения (ФСУ). С ними вычисления вроде $102^2$ или $49 \cdot 51$ делаются в уме за секунды, а сложные выражения упрощаются в одну строку.

ФСУ — один из самых используемых инструментов школьной алгебры: на них держатся разложение на множители, решение квадратных уравнений (выделение полного квадрата), преобразования с корнями, тригонометрия. Их нужно знать наизусть — в обе стороны.

Квадрат суммы и квадрат разности

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$

Словами: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.

Доказательство — обычное умножение: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Квадрат со стороной a + b разбит на квадрат a², квадрат b² и два прямоугольника ab

Геометрически: квадрат со стороной $a + b$ состоит из квадрата $a^2$ , квадрата $b^2$ и двух прямоугольников $ab$ . Именно поэтому в формуле $2ab$ , а не $ab$ , и уж точно не « $a^2 + b^2$ ».

Разобранный пример 1

Раскройте скобки: $(3x - 2y)^2$ .

Первое выражение $3x$ , второе $2y$ .
$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$ .
Проверка при $x = y = 1$ : $(3 - 2)^2 = 1$ и $9 - 12 + 4 = 1$ . Совпало.

Ответ: $9x^2 - 12xy + 4y^2$ .

Разность квадратов

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2.$

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности их квадратов. Проверка: $(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$ — средние члены взаимно уничтожаются.

Быстрый счёт: $49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2\,500 - 1 = 2\,499$ .

Сумма и разность кубов

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3,$

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3.$

Выражение $a^2 - ab + b^2$ называют неполным квадратом разности (в нём $ab$ , а не $2ab$ ), а $a^2 + ab + b^2$ — неполным квадратом суммы.

Куб суммы и куб разности

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

Коэффициенты 1, 3, 3, 1 — те же, что в треугольнике Паскаля, о котором вы узнаете в старших классах.

Сводная таблица

Название	Формула
квадрат суммы	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
квадрат разности	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
сумма кубов	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
разность кубов	$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
куб суммы	$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
куб разности	$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Разобранный пример 2

Вычислите $102^2$ без калькулятора.

$102^2 = (100 + 2)^2 = 10\,000 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 4$ .
$= 10\,000 + 400 + 4 = 10\,404$ .

Ответ: 10 404.

Разобранный пример 3

Упростите $(x + 3)^2 - (x - 3)(x + 3)$ .

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ .
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$ .
Разность: $x^2 + 6x + 9 - x^2 + 9 = 6x + 18$ .
Проверка при $x = 1$ : $16 - (-8) = 24$ и $6 + 18 = 24$ . Совпало.

Ответ: $6x + 18$ .

Как запомнить и не путать

Квадрат двучлена — три члена; разность квадратов — два.
Знак перед $2ab$ совпадает со знаком в скобке; $a^2$ и $b^2$ всегда со знаком плюс.
Для кубов: знак в первой скобке совпадает со знаком результата, а знак перед $ab$ во второй скобке — противоположный.

Полезно произносить формулы словами: «квадрат первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго». Это помогает применять их к сложным выражениям, где «первым» и «вторым» могут быть $3x$ , $\frac{1}{2}y^2$ или $(a - 1)$ .

Формулы для устного счёта

Формулы сокращённого умножения — отличный инструмент для вычислений в уме. Несколько приёмов, которые стоит освоить:

Квадрат числа, близкого к круглому: $49^2 = (50 - 1)^2 = 2\,500 - 100 + 1 = 2\,401$ ; $71^2 = (70 + 1)^2 = 4\,900 + 140 + 1 = 5\,041$ .
Произведение чисел, симметричных относительно круглого: $38 \cdot 42 = (40 - 2)(40 + 2) = 1\,600 - 4 = 1\,596$ .
Квадрат числа, оканчивающегося на 5: $65^2 = 6 \cdot 7 \cdot 100 + 25 = 4\,225$ . Это следует из $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$ .

Попробуйте сами: $29^2$ , $51 \cdot 49$ , $85^2$ — ответы 841, 2 499 и 7 225. Такие приёмы не только ускоряют счёт, но и тренируют умение «видеть» формулу — а это главный навык при разложении на множители.

История вопроса

Формулу квадрата суммы знали ещё древние греки — в «Началах» Евклида (III век до н. э.) она доказана геометрически, разбиением квадрата на части, как на нашем рисунке. Алгебраическая запись появилась только в XVI–XVII веках, вместе с буквенной символикой.

Где ещё пригодятся формулы

В геометрии формула квадрата суммы появляется в доказательстве теоремы Пифагора. В физике — при вычислении кинетической энергии и в формулах равноускоренного движения. В 8 классе с её помощью выводят формулу корней квадратного уравнения, а в 9 классе — исследуют квадратичную функцию. Поэтому формулы стоит не просто запомнить, а довести до автоматизма — в обе стороны.

Типичные ошибки

Писать $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ — самая распространённая ошибка в алгебре.
Забывать удвоить произведение: $(a - b)^2 = a^2 - ab + b^2$ .
Неверно возводить в квадрат выражение с коэффициентом: $(3x)^2 = 3x^2$ вместо $9x^2$ .
Путать неполный квадрат ( $a^2 \pm ab + b^2$ ) с полным ( $a^2 \pm 2ab + b^2$ ).
Терять минус перед скобкой: $-(x - 3)(x + 3) = -x^2 + 9$ , а не $-x^2 - 9$ .

Что дальше

Разложение на множители с помощью формул — те же формулы «справа налево» дают способы разложения на множители.
Преобразование выражений с квадратными корнями — разность квадратов поможет избавляться от иррациональности в знаменателе.