Выражения и тождества — Ranimus, Ветвь разума

Зачем это нужно

Алгебра — это язык, на котором записывают общие закономерности. Вместо того чтобы сто раз считать стоимость покупок для разных цен, пишут одну формулу $C = a \cdot n$ . Чтобы пользоваться этим языком, нужно уметь читать выражения, находить их значения и, главное, преобразовывать их — заменять одно выражение другим, равным ему, но более удобным.

Тождественные преобразования — главный инструмент всей школьной алгебры: на них держатся решение уравнений, работа с многочленами, дробями, корнями, тригонометрией. В этой теме мы наведём порядок в том, что знаем с 5–6 класса, и дадим точные определения.

Числовые выражения

Числовое выражение составлено из чисел, знаков действий и скобок: $3{,}5 \cdot (2 - 0{,}4) + 1$ . Выполнив действия по правилам порядка, получим значение выражения.

Не всякое числовое выражение имеет значение: $\dfrac{5}{3 - 3}$ не имеет смысла, так как на нуль делить нельзя.

Выражения с переменными

Выражение с переменной содержит буквы: $2a - b$ , $\dfrac{x + 1}{x - 2}$ . Буква называется переменной, потому что может принимать разные значения. Подставив число вместо переменной, получим числовое выражение.

Допустимые значения переменной — те, при которых выражение имеет смысл. Для $\dfrac{x + 1}{x - 2}$ допустимы все $x$ , кроме $x = 2$ .

Разобранный пример 1

Найдите значение выражения $3a^2 - 2ab$ при $a = -2$ , $b = 5$ .

Подставляем, заключая отрицательные числа в скобки: $3 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) \cdot 5$ .
$(-2)^2 = 4$ , значит $3 \cdot 4 = 12$ .
$2 \cdot (-2) \cdot 5 = -20$ .
$12 - (-20) = 32$ .

Ответ: 32.

Скобки при подстановке отрицательных чисел — обязательны: без них легко получить $-2^2 = -4$ вместо $(-2)^2 = 4$ .

Сравнение значений выражений

Значения выражений сравнивают знаками $>$ , $<$ , $=$ . Записи $a > b$ , $a < b$ называют неравенствами. Двойное неравенство $-1 < x < 3$ означает « $x$ больше $-1$ и меньше 3».

Иногда сравнивать можно без вычислений: при любом $a$ выражение $a^2 + 1$ положительно (квадрат неотрицателен, плюс единица), а $-a^2 - 1$ — отрицательно.

Тождества

Рассмотрим выражения $3(x + 2)$ и $3x + 6$ . При любом $x$ их значения равны — это следствие распределительного свойства. Такие выражения называют тождественно равными.

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных:

$3(x + 2) = 3x + 6, \qquad a + b = b + a, \qquad (a + b) + c = a + (b + c).$

А вот $x + 3 = 5$ — не тождество: оно верно только при $x = 2$ . Это уравнение.

Таблица значений: x = −2, 0, 1, 2, 5; строки 3(x + 2) и 3x + 6 совпадают; строки x + 3 и 5 совпадают только при x = 2

Тождественные преобразования

Тождественное преобразование — замена выражения тождественно равным ему. Основные приёмы:

перестановка и группировка слагаемых и множителей;
раскрытие скобок;
приведение подобных слагаемых;
вынесение общего множителя за скобки.

Разобранный пример 2

Упростите выражение $5(2a - 3) - 2(4a - 1) + 7$ .

Раскрываем скобки: $10a - 15 - 8a + 2 + 7$ .
Приводим подобные: $(10a - 8a) + (-15 + 2 + 7) = 2a - 6$ .
Проверка подстановкой $a = 1$ : исходное $5 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 + 7 = -4$ ; упрощённое $2 - 6 = -4$ . Совпало.

Ответ: $2a - 6$ .

Как доказать тождество

Чтобы доказать тождество, используют один из способов:

преобразовать левую часть к правой (или правую к левой);
преобразовать обе части к одному и тому же выражению;
показать, что разность левой и правой частей равна нулю.

Разобранный пример 3

Докажите тождество $(a - b) - (c - b) = a - c$ .

$(a - b) - (c - b) = a - b - c + b = a - c$ . Левая часть приведена к правой — тождество доказано.

Чтобы опровергнуть «тождество», достаточно одного контрпримера: равенство $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ неверно, ведь при $a = b = 1$ слева 4, а справа 2.

Язык алгебры: как читать выражения

Выражение читают по последнему действию:

Выражение	Как читается
$a + b$	сумма $a$ и $b$
$(a + b)^2$	квадрат суммы $a$ и $b$
$a^2 + b^2$	сумма квадратов $a$ и $b$
$2(x - y)$	удвоенная разность $x$ и $y$
$\frac{a + b}{2}$	полусумма (среднее арифметическое) $a$ и $b$

Умение «переводить» с русского на язык алгебры и обратно пригодится в текстовых задачах: «квадрат суммы» и «сумма квадратов» — это совсем разные выражения, и путать их нельзя.

История вопроса

Ещё в XVI веке уравнения и правила записывали словами: «вещь, умноженная на три, и прибавить пять равно двадцати». Французский математик Франсуа Виет первым стал систематически обозначать буквами не только неизвестные, но и известные величины, а Рене Декарт придал записи почти современный вид. Буквенная символика позволила записывать общие законы одной строкой — так родилась современная алгебра.

Типичные ошибки

Подставлять отрицательные числа без скобок: $-2^2$ вместо $(-2)^2$ .
Считать тождеством равенство, проверенное на одном-двух значениях. Проверка примерами не доказывает тождество, но один контрпример его опровергает.
При раскрытии скобок с минусом менять знак только первого слагаемого.
Складывать неподобные слагаемые: $2a + 3b = 5ab$ .
Забывать про недопустимые значения переменной (деление на нуль).

Что дальше

Линейные уравнения с одной переменной — тождественные преобразования помогут решать линейные уравнения.
Понятие функции — выражение с переменной задаёт функцию.
Многочлены. Сложение, вычитание, умножение — тождественные преобразования многочленов.
Элементы комбинаторики — в комбинаторике формулы тоже записывают выражениями с переменными.