Разложение на множители с помощью формул

Зачем это нужно

Формулы сокращённого умножения можно читать справа налево — тогда они превращают сумму в произведение. Выражение $x^2 - 9$ сразу раскладывается в $(x - 3)(x + 3)$, а $4a^2 + 12a + 9$ — в $(2a + 3)^2$. Вместе с вынесением общего множителя и группировкой это даёт мощный набор инструментов разложения на множители.

Эти приёмы понадобятся постоянно: для сокращения алгебраических дробей в 8 классе, для решения квадратных и более сложных уравнений, для доказательства неравенств ($a^2 + b^2 \ge 2ab$ следует из $(a - b)^2 \ge 0$) и для выделения полного квадрата — ключевого приёма в теме квадратных уравнений.

Формулы «справа налево»

Главное умение — узнавать формулу в выражении: видеть, что $16x^2$ — это $(4x)^2$, $0{,}25$ — это $0{,}5^2$, $27m^3$ — это $(3m)^3$.

Разность квадратов

Если выражение — разность двух квадратов, оно раскладывается на произведение разности и суммы оснований.

$25x^2 - 49 = (5x)^2 - 7^2 = (5x - 7)(5x + 7).$

Обратите внимание: сумма квадратов $a^2 + b^2$ на множители (с действительными коэффициентами) не раскладывается.

Полный квадрат

Трёхчлен вида $a^2 \pm 2ab + b^2$ — полный квадрат. Чтобы его узнать:

1. Найдите два члена, которые являются квадратами: $a^2$ и $b^2$.
2. Проверьте, что третий член равен $\pm 2ab$.

Разобранный пример 1

Разложите на множители $9x^2 - 24xy + 16y^2$.

1. $9x^2 = (3x)^2$, $16y^2 = (4y)^2$.
2. Удвоенное произведение: $2 \cdot 3x \cdot 4y = 24xy$ — совпадает (со знаком минус).
3. Значит, $9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x - 4y)^2$.
4. Проверка: $(3x - 4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$. Верно.

Ответ: $(3x - 4y)^2$.

А вот $x^2 + 6x + 4$ — не полный квадрат: для $x^2 + 6x$ нужно $+9$, а не $+4$.

Комбинирование способов

Часто одного способа мало. Порядок действий:

1. Вынести общий множитель (если есть).
2. Посмотреть на выражение в скобках: не подходит ли формула (разность квадратов, полный квадрат, сумма/разность кубов)?
3. Если членов четыре и больше — попробовать группировку.
4. Каждый полученный множитель проверить: нельзя ли разложить дальше.

Разобранный пример 2

Разложите на множители $2x^3 - 8x$.

1. Общий множитель $2x$: $2x(x^2 - 4)$.
2. $x^2 - 4$ — разность квадратов: $(x - 2)(x + 2)$.
3. Итог: $2x(x - 2)(x + 2)$.

Разобранный пример 3

Разложите на множители $a^2 - b^2 + a - b$.

1. Группируем: $(a^2 - b^2) + (a - b) = (a - b)(a + b) + (a - b)$.
2. Выносим $(a - b)$: $(a - b)(a + b + 1)$.

Разобранный пример 4

Разложите на множители $x^2 - 6x + 9 - y^2$.

1. Первые три члена — полный квадрат: $(x - 3)^2 - y^2$.
2. Разность квадратов: $(x - 3 - y)(x - 3 + y)$.

Выделение полного квадрата

Даже если трёхчлен не является полным квадратом, его можно дополнить:

$x^2 + 6x + 4 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 4 = (x + 3)^2 - 5.$

Этот приём покажет, например, что выражение $x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2$ всегда больше нуля (наименьшее значение 2 при $x = -3$). В 8 классе выделение полного квадрата приведёт нас к формуле корней квадратного уравнения.

Решение уравнений

Разобранный пример 5

Решите уравнение $x^3 - 9x = 0$.

1. $x(x^2 - 9) = 0$, $x(x - 3)(x + 3) = 0$.
2. $x = 0$, $x = 3$ или $x = -3$.

Ответ: $-3$; $0$; $3$.

Как «увидеть» формулу

Чтобы узнать формулу, полезно сначала задать себе вопросы:

• Сколько членов? Два — ищем разность квадратов или сумму/разность кубов. Три — проверяем полный квадрат. Четыре и больше — пробуем группировку.
• Есть ли квадраты? Числа 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 0,01, 0,25 и степени с чётными показателями ($x^2$, $a^4$, $b^6$) — кандидаты в $a^2$.
• Есть ли кубы? Числа 1, 8, 27, 64, 125, 1 000 и степени с показателями, кратными 3 ($x^3$, $y^6$).

Например, в $0{,}25x^4 - 9y^2$ видим $(0{,}5x^2)^2 - (3y)^2 = (0{,}5x^2 - 3y)(0{,}5x^2 + 3y)$.

Проверка разложения

Любое разложение проверяется умножением: перемножьте полученные множители — должен получиться исходный многочлен. Быстрый вариант — подставить число, например $x = 2$, в исходное выражение и в результат: значения должны совпасть.

Зачем доводить разложение до конца

Разложить многочлен полностью — значит представить его в виде произведения множителей, каждый из которых дальше не раскладывается. Только тогда видны все корни уравнения и все возможности для сокращения дробей. Например, из записи $2x(x^2 - 4)$ видно лишь корень $x = 0$, а из полной записи $2x(x - 2)(x + 2)$ — все три корня.

Типичные ошибки

• Раскладывать сумму квадратов: $x^2 + 9 = (x + 3)(x - 3)$ — неверно.
• Не вынести общий множитель в начале — тогда формула «не видна».
• Принимать любой трёхчлен за полный квадрат, не проверив удвоенное произведение.
• Останавливаться, не доведя разложение до конца: $2x(x^2 - 4)$ можно разложить дальше.
• Путать знаки в разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, во второй скобке плюс.

Что дальше

• Рациональные дроби. Сокращение, сложение и вычитание — разложение на множители — главный инструмент сокращения алгебраических дробей.
• Квадратные уравнения — выделение полного квадрата даёт формулу корней квадратного уравнения.
• Теорема Безу и схема Горнера — в 10 классе: разложение многочленов высоких степеней с помощью теоремы Безу.