Преобразование выражений с квадратными корнями

Зачем это нужно

Ответы задач по геометрии и алгебре часто содержат корни: $\sqrt{50}$, $\frac{6}{\sqrt{3}}$, $(\sqrt{5} + 1)^2$. Принято записывать их в простейшем виде: $5\sqrt{2}$, $2\sqrt{3}$, $6 + 2\sqrt{5}$. Так легче сравнивать числа, складывать подобные слагаемые, проверять ответы и находить приближённые значения. Эти приёмы понадобятся при решении квадратных уравнений, в теореме Пифагора, тригонометрии и во всём курсе старшей школы.

Вынесение множителя из-под знака корня

Если подкоренное выражение содержит множитель, являющийся точным квадратом, его можно вынести:

$\sqrt{a^2 b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = a\sqrt{b}, \qquad a \ge 0,\ b \ge 0.$

Как действовать: разложите подкоренное число на множители так, чтобы один из них был наибольшим точным квадратом.

Разобранный пример 1

Вынесите множитель из-под знака корня: а) $\sqrt{50}$; б) $\sqrt{48}$; в) $\sqrt{0{,}27}$; г) $\sqrt{18a^3}$, $a \ge 0$.

1. а) $\sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
2. б) $\sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ (а не $2\sqrt{12}$ — нужно брать наибольший квадрат).
3. в) $\sqrt{0{,}09 \cdot 3} = 0{,}3\sqrt{3}$.
4. г) $\sqrt{9a^2 \cdot 2a} = 3a\sqrt{2a}$.

Внесение множителя под знак корня

Обратное действие: положительный множитель возводим в квадрат и вносим под корень:

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}, \qquad a \ge 0.$

Если множитель отрицательный, минус остаётся снаружи: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{9 \cdot 2} = -\sqrt{18}$.

Внесение удобно для сравнения чисел: $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$, $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$, значит, $3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$.

Подобные слагаемые с корнями

Слагаемые с одинаковым подкоренным выражением складывают, как подобные: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Часто их сначала нужно «увидеть», вынеся множители.

Разобранный пример 2

Упростите $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$.

1. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$, $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
2. $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Формулы сокращённого умножения с корнями

Формулы 7 класса работают и с корнями:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b, \qquad (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b.$

Разобранный пример 3

Вычислите: а) $(\sqrt{5} + 1)^2$; б) $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

1. а) $5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$.
2. б) $7 - 3 = 4$ — корни исчезли благодаря формуле разности квадратов.

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Дроби с корнем в знаменателе принято преобразовывать так, чтобы знаменатель стал рациональным.

• Знаменатель $\sqrt{a}$: умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$
• Знаменатель $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ или $\sqrt{a} \pm c$: умножим на сопряжённое выражение (с противоположным знаком), чтобы применить разность квадратов: $\frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}.$

Разобранный пример 4

Освободитесь от иррациональности: $\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.

1. Умножим на сопряжённое $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.
2. Знаменатель: $(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.
3. Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{2}$. Проверка: $\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1{,}732 - 1{,}414 = 0{,}318$ и $\frac{1}{3{,}146} \approx 0{,}318$.

Сокращение дробей с корнями

Иногда числитель раскладывается по формуле разности квадратов: $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$ при $x \ge 0$. Тогда

$\frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} - 3.$

Разобранный пример 5

Найдите значение выражения $\dfrac{(\sqrt{13} - \sqrt{7})(\sqrt{13} + \sqrt{7})}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}}$.

1. Числитель по формуле разности квадратов: $13 - 7 = 6$.
2. Знаменатель: $\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$.
3. Значение: $6 : 6 = 1$.

Заметьте: ни одного приближённого вычисления не понадобилось. Такие задачи часто встречаются в ОГЭ — в них корни «исчезают», если правильно применить свойства и формулы. Если же у вас получился громоздкий ответ с корнями, стоит проверить, не пропущена ли формула сокращённого умножения.

История вопроса

Действия с корнями умели выполнять ещё вавилонские писцы: на глиняной табличке YBC 7289 (около 1800 года до н. э.) записано приближение $\sqrt{2} \approx 1{,}41421296$ — с ошибкой меньше одной миллионной. Индийские и арабские математики средневековья знали правила вынесения множителя и избавления от иррациональности, а современная запись появилась в Европе в XVI–XVII веках.

Алгоритм упрощения выражений с корнями

1. Вынесите множители из-под всех корней, чтобы подкоренные выражения стали как можно проще.
2. Раскройте скобки, пользуясь распределительным законом и формулами сокращённого умножения.
3. Приведите подобные слагаемые — с одинаковыми корнями и без корней.
4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях, если они есть.
5. Проверьте результат приближённым вычислением на калькуляторе или в уме.

Где это пригодится

В геометрии ответы почти всегда получаются с корнями. Диагональ квадрата со стороной 6 равна $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$; высота равностороннего треугольника со стороной 4 равна $\sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$; радиус окружности, описанной около квадрата со стороной 1, равен $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В тригонометрии появятся значения $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — это как раз результат избавления от иррациональности в знаменателе.

Раньше, до калькуляторов, избавление от иррациональности имело и практический смысл: делить на $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ вручную долго, а умножать на него — гораздо проще. Поэтому $\frac{1}{\sqrt{2}}$ переписывали как $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}70711$.

Типичные ошибки

• Выносить не наибольший квадрат: $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$ — ещё не окончательный ответ, нужно $6\sqrt{2}$.
• Вносить отрицательный множитель под корень: $-2\sqrt{3} \ne \sqrt{12}$.
• Складывать корни с разными подкоренными выражениями: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$.
• Умножать при избавлении от иррациональности только знаменатель — дробь изменится.
• Ошибаться в квадрате суммы: $(\sqrt{5} + 1)^2 \ne 5 + 1$, забыт удвоенный член $2\sqrt{5}$.

Что дальше

• Квадратные уравнения — корни квадратных уравнений часто содержат радикалы.
• Теорема Пифагора — ответы задач по теореме Пифагора записывают в простейшем виде.