Дробные рациональные уравнения

Зачем это нужно

Лодка проплыла 12 км по течению и вернулась обратно за 2,5 часа. Скорость течения 2 км/ч. Какова собственная скорость лодки? Время на каждом участке — это путь, делённый на скорость, поэтому неизвестное окажется в знаменателе: $\frac{12}{x + 2} + \frac{12}{x - 2} = 2{,}5$. Такие уравнения называют дробными рациональными. Они возникают в задачах на движение, совместную работу, концентрацию растворов, в физике (линзы, электрические цепи) и почти в каждом варианте ОГЭ.

Целые и дробные уравнения

• Целое уравнение — обе части являются целыми выражениями: $\frac{x}{3} + 2x = 7$ (деление только на число).
• Дробное уравнение — хотя бы одна часть содержит деление на выражение с переменной: $\frac{5}{x} = x - 4$.

Главное правило: дробь равна нулю

$\frac{A}{B} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad A = 0 \ \text{и} \ B \ne 0.$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Алгоритм решения

1. Разложите знаменатели на множители и найдите общий знаменатель.
2. Выпишите ограничения: значения переменной, при которых знаменатели обращаются в нуль.
3. Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель — получится целое уравнение.
4. Решите целое уравнение.
5. Исключите корни, которые обращают общий знаменатель в нуль, — это посторонние корни.

Почему появляются посторонние корни? При умножении на выражение с переменной мы могли умножить на нуль, а это не равносильное преобразование.

Разобранный пример 1

Решите $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$.

1. Ограничение: $x \ne 3$.
2. Числитель: $x^2 - 9 = 0$, $x = \pm 3$.
3. $x = 3$ — посторонний корень. Ответ: $x = -3$.

Разобранный пример 2

Решите $\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{6}{x(x - 2)}$.

1. Общий знаменатель $x(x - 2)$; ограничения $x \ne 0$, $x \ne 2$.
2. Умножаем обе части: $3x + (x - 2) = 6$, то есть $4x = 8$, $x = 2$.
3. $x = 2$ — посторонний корень. Ответ: корней нет.

Разобранный пример 3

Решите $\dfrac{x}{x - 3} - \dfrac{5}{x + 3} = \dfrac{18}{x^2 - 9}$.

1. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ — общий знаменатель; ограничения $x \ne \pm 3$.
2. Умножаем: $x(x + 3) - 5(x - 3) = 18$.
3. $x^2 + 3x - 5x + 15 - 18 = 0$, то есть $x^2 - 2x - 3 = 0$; по теореме Виета $x = 3$ или $x = -1$.
4. $x = 3$ — посторонний. Ответ: $x = -1$.
5. Проверка: $\frac{-1}{-4} - \frac{5}{2} = 0{,}25 - 2{,}5 = -2{,}25$ и $\frac{18}{1 - 9} = -2{,}25$. Верно.

Задачи на движение по реке

Если собственная скорость лодки $v$, а скорость течения $u$, то скорость по течению $v + u$, против течения $v - u$.

Разобранный пример 4

Лодка прошла 12 км по течению и 12 км против течения за 2,5 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

1. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость ($x > 2$).
2. $\dfrac{12}{x + 2} + \dfrac{12}{x - 2} = 2{,}5$.
3. Умножаем на $(x + 2)(x - 2)$: $12(x - 2) + 12(x + 2) = 2{,}5(x^2 - 4)$, то есть $24x = 2{,}5x^2 - 10$, $5x^2 - 48x - 20 = 0$.
4. $D_1 = 576 + 100 = 676 = 26^2$, $x = \frac{24 \pm 26}{5}$: $x = 10$ или $x = -0{,}4$.
5. По смыслу $x > 2$, ответ: 10 км/ч. Проверка: $\frac{12}{12} + \frac{12}{8} = 1 + 1{,}5 = 2{,}5$.

Задачи на совместную работу

Всю работу принимают за 1. Если один выполняет её за $a$ часов, его производительность $\frac{1}{a}$ работы в час. При совместной работе производительности складываются.

Разобранный пример 5

Первая труба наполняет бассейн за 6 ч, вместе с второй — за 4 ч. За сколько часов наполнит бассейн одна вторая труба?

1. Пусть вторая — за $x$ ч. Тогда $\frac{1}{6} + \frac{1}{x} = \frac{1}{4}$.
2. $\frac{1}{x} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$, $x = 12$ ч.

Как составить уравнение по задаче

Удобно оформлять условие таблицей. В задачах на движение столбцы — скорость, время, путь; в задачах на работу — производительность, время, объём работы. В одну клетку записываем неизвестное, остальные выражаем через него, а уравнение составляем по той величине, о которой в условии сказано «на столько-то больше» или «всего столько-то».

Уравнение — по суммарному времени: $\frac{12}{x + 2} + \frac{12}{x - 2} = 2{,}5$.

После решения обязательно проверьте корни по смыслу: скорость лодки больше скорости течения, число рабочих натуральное, время положительно.

Где ещё встречаются дробные уравнения

• Оптика: формула тонкой линзы $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения.
• Электричество: при параллельном соединении $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$.
• Химия: задачи на концентрацию растворов, где неизвестная масса воды стоит в знаменателе.

Типичные ошибки

• Забывать выписать ограничения и проверить корни — в ответ попадают посторонние корни.
• Умножать на общий знаменатель только одну часть уравнения или не все слагаемые.
• Приравнивать к нулю знаменатель вместо числителя.
• Путать скорости по течению и против течения.
• В задачах на работу складывать времена вместо производительностей.

Что дальше

• Целые уравнения. Биквадратные уравнения — уравнения высших степеней, замена переменной.