Квадратные уравнения

Зачем это нужно

Площадь прямоугольного участка 120 м², а одна сторона на 2 м длиннее другой. Каковы размеры участка? Обозначив меньшую сторону через $x$, получим $x(x + 2) = 120$, то есть $x^2 + 2x - 120 = 0$. Это квадратное уравнение. Такие уравнения возникают в геометрии (площади, теорема Пифагора), физике (движение брошенного тела: $h = v_0 t - \frac{g t^2}{2}$), экономике. Умение их решать — один из главных навыков школьной алгебры и обязательная часть ОГЭ и ЕГЭ.

Определение

Квадратным называют уравнение вида

$ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \ne 0,$

где $x$ — неизвестное, $a, b, c$ — числа (коэффициенты). $a$ — старший коэффициент, $b$ — второй, $c$ — свободный член. Если $a = 1$, уравнение называют приведённым: $x^2 + px + q = 0$.

Например, в уравнении $3x^2 - 5x + 2 = 0$: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$. Обратите внимание на знак: $b = -5$, а не $5$.

Неполные квадратные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0$, уравнение называют неполным. Его решают без общей формулы.

Разобранный пример 1

Решите: а) $2x^2 - 18 = 0$; б) $5x^2 + 20 = 0$; в) $3x^2 - 12x = 0$.

1. а) $x^2 = 9$, $x = \pm 3$.
2. б) $x^2 = -4$ — корней нет.
3. в) $3x(x - 4) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = 4$.

Ошибка: делить обе части $3x^2 = 12x$ на $x$ — так теряется корень $x = 0$.

Дискриминант и формула корней

Для полного уравнения вычисляют дискриминант (от лат. discriminare — «различать»):

$D = b^2 - 4ac.$

Формула получается выделением полного квадрата: умножим уравнение на $4a$ и прибавим $b^2$ к обеим частям: $4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac$, то есть $(2ax + b)^2 = D$.

Разобранный пример 2

Решите $x^2 - 5x + 6 = 0$.

1. $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$; $D = 25 - 24 = 1$.
2. $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$.
3. Проверка: $9 - 15 + 6 = 0$, $4 - 10 + 6 = 0$.

Разобранный пример 3

Решите $4x^2 - 4x + 1 = 0$ и $x^2 + x + 3 = 0$.

1. Первое: $D = 16 - 16 = 0$, $x = \frac{4}{8} = 0{,}5$. Заметим, что $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$.
2. Второе: $D = 1 - 12 = -11 < 0$ — корней нет.

Формула для чётного второго коэффициента

Если $b = 2k$ (чётное), удобнее $D_1 = \frac{D}{4} = k^2 - ac$ и

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}.$

Пример: $x^2 - 6x - 7 = 0$, $k = -3$, $D_1 = 9 + 7 = 16$, $x = 3 \pm 4$: $x_1 = 7$, $x_2 = -1$.

Как выбрать способ решения

Прежде чем бросаться считать дискриминант, посмотрите на уравнение внимательно:

1. Неполное уравнение ($b = 0$ или $c = 0$) решайте без формулы — вынесением $x$ или извлечением корня.
2. Полный квадрат: если левая часть похожа на $(x \pm k)^2$, сверните её — например, $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
3. Чётный второй коэффициент — используйте $D_1 = k^2 - ac$: числа меньше, ошибок меньше.
4. Приведённое уравнение с «хорошими» корнями — попробуйте подобрать корни по теореме Виета (следующая тема).
5. Большие коэффициенты с общим множителем — сначала разделите на него обе части: $6x^2 - 18x + 12 = 0$ равносильно $x^2 - 3x + 2 = 0$.
6. Отрицательный старший коэффициент — умножьте уравнение на $-1$, чтобы не путаться в знаках.

Задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям

Разобранный пример 4

Площадь прямоугольника 120 м², одна сторона на 2 м длиннее другой. Найдите стороны.

1. Пусть меньшая сторона $x$ м, тогда $x(x + 2) = 120$, $x^2 + 2x - 120 = 0$.
2. $D_1 = 1 + 120 = 121$, $x = -1 \pm 11$: $x = 10$ или $x = -12$.
3. Длина не может быть отрицательной, поэтому $x = 10$. Стороны 10 м и 12 м.

Всегда проверяйте, подходят ли корни по смыслу задачи.

Квадратные уравнения встречаются и в физике. Камень брошен вверх со скоростью 20 м/с; его высота меняется по закону $h = 20t - 5t^2$. Когда камень окажется на высоте 15 м? Решаем $5t^2 - 20t + 15 = 0$, то есть $t^2 - 4t + 3 = 0$: $t = 1$ с и $t = 3$ с. Оба корня имеют смысл: в первый раз камень пролетает эту высоту на подъёме, во второй — при падении.

История вопроса

Квадратные уравнения решали ещё в Древнем Вавилоне около 4000 лет назад — правила записаны на глиняных табличках словами, без формул. Индийский математик Брахмагупта (VII век) сформулировал правило, равносильное формуле корней. Слово «алгебра» происходит от названия трактата аль-Хорезми (IX век) «Китаб аль-джабр валь-мукабала», где разобраны все виды квадратных уравнений с положительными коэффициентами. Отрицательные корни долго не признавали — их называли «ложными».

Типичные ошибки

• Терять знак коэффициента: в $x^2 - 7x + 10 = 0$ коэффициент $b = -7$, и $-b = 7$.
• Делить на $x$ в неполном уравнении $ax^2 + bx = 0$ и терять корень $0$.
• Забывать, что знаменатель формулы — $2a$, а не $2$.
• Писать $\sqrt{D}$ при $D < 0$.
• Не проверять корни по условию задачи (отрицательная длина, дробное число людей).

Что дальше

• Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена — теорема Виета: связь корней с коэффициентами.
• Дробные рациональные уравнения — уравнения с дробями, сводящиеся к квадратным.
• Квадратичная функция и её график — график квадратичной функции — парабола.
• Кинематика. Равноускоренное движение — время полёта брошенного тела находят из квадратного уравнения.