Умножение и деление рациональных дробей. Функция y = k/x

Зачем это нужно

После сложения и вычитания дробей осталось научиться их умножать и делить — тогда можно упростить любое рациональное выражение. Это нужно для решения дробных уравнений, в физике (формулы закона Ома, газовых законов, линз), в экономике. А функция $y = \frac{k}{x}$ описывает обратную пропорциональность: время пути при постоянном расстоянии, давление газа при постоянной температуре, сила тока при постоянном напряжении.

Умножение и деление дробей

Правила такие же, как для обыкновенных дробей:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}, \qquad \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}.$

Возведение в степень: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.

Главный совет: прежде чем перемножать, разложите все числители и знаменатели на множители и сократите — иначе получатся громоздкие многочлены.

Разобранный пример 1

Упростите $\dfrac{x^2 - 4}{3x} \cdot \dfrac{6x^2}{x + 2}$.

1. Разложим: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
2. $\dfrac{(x - 2)(x + 2) \cdot 6x^2}{3x (x + 2)}$.
3. Сократим на $3x(x + 2)$: получим $2x(x - 2)$.

Разобранный пример 2

Упростите $\dfrac{a^2 - ab}{b^2} : \dfrac{a^2 - b^2}{b}$.

1. Деление заменяем умножением на обратную дробь: $\dfrac{a(a - b)}{b^2} \cdot \dfrac{b}{(a - b)(a + b)}$.
2. Сокращаем на $b(a - b)$: $\dfrac{a}{b(a + b)}$.

Разобранный пример 3

Возведите в степень: $\left(-\dfrac{2a^2}{3b}\right)^3$.

Нечётная степень сохраняет минус: $-\dfrac{8a^6}{27b^3}$.

Преобразование рациональных выражений

Сложное выражение упрощают по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Удобно записывать каждое действие отдельно.

Разобранный пример 4

Упростите $\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right) : \dfrac{4}{x^2 - 1}$.

1. Скобка: $\dfrac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{2}{x^2 - 1}$.
2. Деление: $\dfrac{2}{x^2 - 1} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
3. Ответ: $\frac{1}{2}$ — значение выражения не зависит от $x$ (при допустимых $x \ne \pm 1$). Проверка при $x = 3$: $(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) : \frac{4}{8} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Это типичный приём в задачах «докажите, что значение выражения не зависит от переменной».

Функция y = k/x

Обратная пропорциональность — функция вида $y = \dfrac{k}{x}$, где $k \ne 0$. Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая во столько же раз уменьшается: их произведение постоянно, $x y = k$.

Пример: путь 120 км. Скорость $v$ и время $t$ связаны формулой $t = \frac{120}{v}$: при 40 км/ч — 3 ч, при 60 км/ч — 2 ч, при 120 км/ч — 1 ч.

График функции $y = \frac{k}{x}$ — гипербола. Она состоит из двух ветвей.

Свойства функции $y = \frac{k}{x}$:

1. Область определения: все числа, кроме $x = 0$. Область значений: все числа, кроме $y = 0$.
2. Если $k > 0$, ветви лежат в I и III четвертях, функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
3. Если $k < 0$, ветви лежат во II и IV четвертях, функция возрастает на каждом из этих промежутков.
4. График симметричен относительно начала координат.
5. Ветви неограниченно приближаются к осям, но не пересекают их. Оси координат — асимптоты гиперболы.

Чтобы найти $k$ по точке графика, достаточно перемножить её координаты: $k = x \cdot y$.

Разобранный пример 5

График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-2; 6)$. Найдите $k$. Проходит ли график через точку $B(3; -4)$?

1. $k = -2 \cdot 6 = -12$.
2. Для $B$: $\frac{-12}{3} = -4$ — совпадает с ординатой. Проходит.

Обратная пропорциональность вокруг нас

• Работа. Если заказ выполняют 6 рабочих за 12 дней, то 9 рабочих справятся за $\frac{6 \cdot 12}{9} = 8$ дней: число рабочих и время обратно пропорциональны.
• Физика. При постоянном напряжении сила тока обратно пропорциональна сопротивлению: $I = \frac{U}{R}$. При постоянной температуре давление газа обратно пропорционально объёму: $p = \frac{\text{const}}{V}$ (закон Бойля — Мариотта).
• Рычаг. Сила, нужная для равновесия рычага, обратно пропорциональна длине плеча: $F = \frac{M}{\ell}$.
• Геометрия. У прямоугольника постоянной площади $S$ ширина $b = \frac{S}{a}$ обратно пропорциональна длине $a$.

Отличить прямую и обратную пропорциональность легко: при прямой постоянно отношение величин ($\frac{y}{x} = k$), при обратной — произведение ($xy = k$).

Как построить гиперболу

1. Составьте таблицу значений для нескольких положительных $x$, удобных для деления (например, для $y = \frac{4}{x}$: $x = \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$).
2. Отметьте точки и соедините их плавной линией — это одна ветвь.
3. Вторую ветвь получите симметрией относительно начала координат: точка $(x; y)$ переходит в $(-x; -y)$.

Типичные ошибки

• Перемножать многочлены, не разложив их и не сократив.
• При делении переворачивать не вторую, а первую дробь.
• Терять знак при возведении в нечётную степень отрицательной дроби.
• Считать, что гипербола пересекает оси: при $x = 0$ функция не определена.
• Путать четверти: при $k > 0$ — I и III, при $k < 0$ — II и IV.

Что дальше

• Дробные рациональные уравнения — дробные рациональные уравнения.
• Степень с целым показателем. Стандартный вид числа — степень с отрицательным показателем: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.
• Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы — закон Бойля — Мариотта: давление газа обратно пропорционально объёму.