Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена

Зачем это нужно

Многие квадратные уравнения можно решить устно, вообще не вычисляя дискриминант, — если знать, как корни связаны с коэффициентами. Эта связь — теорема Виета — позволяет быстро подбирать корни, проверять ответы, составлять уравнения с заданными корнями и раскладывать квадратный трёхчлен на множители. Последнее нужно для сокращения дробей, решения неравенств методом интервалов и уравнений высших степеней.

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, то

$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.$

Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, произведение — свободному члену.

Для уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$

Доказательство. По формуле корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1. Сумма: $\dfrac{-b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}$.
2. Произведение (по формуле разности квадратов): $\dfrac{b^2 - D}{4a^2} = \dfrac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}$. ∎

Разобранный пример 1

Не решая уравнение $x^2 - 9x + 14 = 0$, найдите сумму и произведение корней.

1. Сначала убедимся, что корни есть: $D = 81 - 56 = 25 > 0$.
2. $x_1 + x_2 = 9$, $x_1 x_2 = 14$.

Важно: теорема Виета говорит о корнях, только если они существуют. У $x^2 + x + 5 = 0$ ($D < 0$) нет корней, и «сумма корней $-1$» смысла не имеет.

Обратная теорема. Подбор корней

Если числа $m$ и $n$ таковы, что $m + n = -p$ и $mn = q$, то они — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Отсюда способ устного решения: ищем два числа, произведение которых равно $q$, а сумма $-p$.

Разобранный пример 2

Решите подбором: а) $x^2 - 7x + 12 = 0$; б) $x^2 + 2x - 15 = 0$.

1. а) Произведение 12, сумма 7: это $3$ и $4$.
2. б) Произведение $-15$ (корни разных знаков), сумма $-2$: это $-5$ и $3$.

Подсказки по знакам:

• $q > 0$ — корни одного знака: оба положительны, если $-p > 0$, оба отрицательны, если $-p < 0$;
• $q < 0$ — корни разных знаков, и больший по модулю имеет знак суммы.

Разобранный пример 3

Один корень уравнения $x^2 + px - 24 = 0$ равен 4. Найдите другой корень и $p$.

1. $x_1 x_2 = -24$, значит, $x_2 = -24 : 4 = -6$.
2. $x_1 + x_2 = -2 = -p$, откуда $p = 2$.

Составление уравнения по корням

Уравнение с корнями $x_1$ и $x_2$: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$. Например, корни $-2$ и $5$ дают $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен — многочлен $ax^2 + bx + c$, $a \ne 0$. Его корни — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Теорема. Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена, то

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$

Если дискриминант отрицателен, трёхчлен на линейные множители не раскладывается.

Разобранный пример 4

Разложите на множители $2x^2 - 5x - 3$ и сократите дробь $\dfrac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 9}$.

1. $D = 25 + 24 = 49$, $x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4}$: $x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.
2. $2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)\left(x + \frac{1}{2}\right) = (x - 3)(2x + 1)$.
3. $\dfrac{(x - 3)(2x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \dfrac{2x + 1}{x + 3}$.

Как пользоваться теоремой Виета на практике

1. Проверка ответа. Решили уравнение по формуле — сложите и перемножьте корни. Если сумма равна $-\frac{b}{a}$, а произведение $\frac{c}{a}$, ответ верен. Это занимает несколько секунд и спасает от досадных ошибок в знаках.
2. Устное решение. Для приведённых уравнений с целыми корнями перебирайте пары делителей свободного члена. Например, для $x^2 - 13x + 36 = 0$ пары с произведением 36: $(1, 36)$, $(2, 18)$, $(3, 12)$, $(4, 9)$, $(6, 6)$. Сумму 13 даёт только пара $(4, 9)$.
3. Если подбор не удаётся за полминуты — переходите к дискриминанту: корни могут быть дробными или иррациональными.

Полезные следствия

Если $a + b + c = 0$, то один корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $1$, а другой — $\frac{c}{a}$. Проверьте: подстановка $x = 1$ даёт $a + b + c = 0$. Например, у $5x^2 - 8x + 3 = 0$ сумма коэффициентов $5 - 8 + 3 = 0$, поэтому корни $1$ и $\frac{3}{5}$.

Если $a - b + c = 0$, то корни $-1$ и $-\frac{c}{a}$.

Симметричные выражения от корней можно найти, не вычисляя сами корни:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2, \qquad \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}.$

Разобранный пример 5

$x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$. Найдите $x_1^2 + x_2^2$.

1. $D = 9 + 20 > 0$ — корни есть.
2. $x_1 + x_2 = 3$, $x_1 x_2 = -5$.
3. $x_1^2 + x_2^2 = 9 + 10 = 19$. Сами корни иррациональны, а ответ — целое число.

История вопроса

Франсуа Виет (1540–1603) — французский юрист и советник короля, увлекавшийся математикой. Он первым начал обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты уравнений, — так родилась буквенная алгебра. Благодаря этому стало возможным записывать общие формулы, в том числе связь корней и коэффициентов. Во время войны с Испанией Виет расшифровал испанский тайный шифр, и испанцы обвиняли французов в колдовстве.

Типичные ошибки

• Забывать менять знак: сумма корней равна $-p$, а не $p$.
• Применять формулы для приведённого уравнения при $a \ne 1$, не разделив на $a$.
• Пользоваться теоремой, не проверив, что $D \ge 0$.
• При разложении трёхчлена терять множитель $a$: $2x^2 - 5x - 3 \ne (x - 3)\left(x + \frac{1}{2}\right)$.
• Путать знаки в скобках: при корне $x_1 = -4$ множитель — $(x + 4)$.

Что дальше

• Целые уравнения. Биквадратные уравнения — уравнения высших степеней; разложение на множители и подбор корней.