Степенная функция. Корень n-й степени

Зачем это нужно

Объём куба со стороной $a$ равен $a^3$. Если объём известен, а сторону нужно найти, приходится извлекать кубический корень. Сила сопротивления воздуха растёт пропорционально квадрату скорости, мощность ветряка — кубу скорости ветра, светимость звезды — четвёртой степени температуры. Такие зависимости описывает степенная функция $y = x^n$, а обратные задачи решают с помощью корня $n$-й степени. Эти понятия — основа для степеней с рациональным показателем, логарифмов и показательной функции в старших классах.

Функция y = xⁿ

Рассмотрим функцию $y = x^n$ с натуральным $n$. Её свойства зависят от чётности $n$.

Чётный показатель ($n = 2, 4, 6, \ldots$): график похож на параболу.

• область значений $y \ge 0$;
• график симметричен относительно оси $y$ (функция чётная: $(-x)^n = x^n$);
• убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$.

Нечётный показатель ($n = 3, 5, \ldots$): график похож на кубическую параболу.

• область значений — все числа;
• график симметричен относительно начала координат (функция нечётная: $(-x)^n = -x^n$);
• возрастает на всей числовой прямой.

Все графики проходят через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$. На отрезке $[0; 1]$ чем больше $n$, тем ниже график (ведь $0{,}5^4 < 0{,}5^2$), а при $x > 1$ — тем выше.

Корень n-й степени

Корнем $n$-й степени из числа $a$ называют число, $n$-я степень которого равна $a$. Обозначение: $\sqrt[n]{a}$.

• Нечётная степень: корень существует для любого $a$ и единственный. $\sqrt[3]{8} = 2$, $\sqrt[3]{-27} = -3$.
• Чётная степень: корень (арифметический) определён только для $a \ge 0$ и неотрицателен. $\sqrt[4]{81} = 3$, а $\sqrt[4]{-16}$ не существует.

Разобранный пример 1

Вычислите: а) $\sqrt[3]{125}$; б) $\sqrt[5]{-32}$; в) $\sqrt[4]{0{,}0016}$.

1. а) $5$, так как $5^3 = 125$.
2. б) $-2$, так как $(-2)^5 = -32$.
3. в) $0{,}2$, так как $0{,}2^4 = 0{,}0016$.

Уравнение xⁿ = a

• $n$ нечётное: ровно один корень $x = \sqrt[n]{a}$.
• $n$ чётное: при $a > 0$ — два корня $x = \pm\sqrt[n]{a}$; при $a = 0$ — один корень $0$; при $a < 0$ — корней нет.

Разобранный пример 2

Решите: а) $x^3 = -64$; б) $x^4 = 16$; в) $x^6 = -1$.

1. а) $x = -4$.
2. б) $x = \pm 2$.
3. в) Корней нет.

Свойства корней

Для $a \ge 0$, $b \ge 0$ (если $n$ чётно):

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}, \qquad \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}.$

Разобранный пример 3

Вычислите $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$ и $\sqrt[4]{\dfrac{81}{625}}$.

1. $\sqrt[3]{64} = 4$.
2. $\frac{3}{5} = 0{,}6$.

Степень с рациональным показателем

Для $a > 0$ и дроби $\frac{m}{n}$ ($n \ge 2$) полагают

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$

Например, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$, $16^{\frac{1}{4}} = 2$, $25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{5}$. Все свойства степеней сохраняются.

Разобранный пример 4

Упростите $\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^6 \cdot a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$ при $a > 0$ и найдите значение при $a = 5$.

1. $\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^6 = a^2$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются.
2. $a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^0 = 1$ — при умножении показатели складываются.
3. Результат $a^2 = 25$.

Как сравнивать корни

Чтобы сравнить корни одинаковой степени, достаточно сравнить подкоренные выражения: функция $y = \sqrt[n]{x}$ возрастает, поэтому $\sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{9}$. Корни разных степеней приводят к общему показателю. Например, сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{5}$: возведём оба числа в шестую степень: $(\sqrt{3})^6 = 27$, $(\sqrt[3]{5})^6 = 25$. Значит, $\sqrt{3} > \sqrt[3]{5}$.

Степенные зависимости в природе и технике

• Объём и масса тел одинаковой формы растут как куб размера: модель самолёта в масштабе 1 : 10 весит в 1000 раз меньше оригинала (из того же материала), а её площадь поверхности меньше в 100 раз.
• Мощность ветряка пропорциональна кубу скорости ветра: при удвоении скорости мощность растёт в 8 раз. Поэтому ветряки ставят там, где ветер сильный и постоянный.
• Третий закон Кеплера: квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу радиуса её орбиты, $T^2 \sim R^3$, то есть $T \sim R^{\frac{3}{2}}$.
• Сила сопротивления воздуха при быстром движении растёт как квадрат скорости — поэтому на высокой скорости автомобиль тратит гораздо больше топлива.

История вопроса

Кубические корни извлекали ещё в Древнем Вавилоне по таблицам. Знаменитая задача древности об удвоении куба (построить куб вдвое большего объёма) сводится к построению отрезка длиной $\sqrt[3]{2}$ — и, как доказали в XIX веке, циркулем и линейкой это невозможно. Запись дробных показателей степени $a^{\frac{m}{n}}$ ввёл Исаак Ньютон, что позволило единообразно работать с корнями и степенями.

Типичные ошибки

• Считать, что корень чётной степени из отрицательного числа существует.
• Писать $\sqrt[3]{-8} = \pm 2$: корень нечётной степени единственный, $\sqrt[3]{-8} = -2$.
• Терять второй корень уравнения $x^4 = 81$: корни $\pm 3$.
• Путать $a^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{a}{2}$.
• Применять свойства корней чётной степени к отрицательным подкоренным выражениям.

Что дальше

• Степень с рациональным показателем. Иррациональные уравнения — степень с рациональным и действительным показателем, иррациональные уравнения.