Арифметический квадратный корень

Зачем это нужно

Площадь квадратного участка — 400 м². Какова длина его стороны? Нужно найти число, квадрат которого равен 400, — это 20. Такая операция, обратная возведению в квадрат, называется извлечением квадратного корня. Корни нужны в теореме Пифагора (длина диагонали, расстояние между точками), в формуле корней квадратного уравнения, в физике (скорость падения $v = \sqrt{2gh}$, период маятника). А ещё корни привели к открытию иррациональных чисел — нового вида чисел, которые нельзя записать обыкновенной дробью.

Квадратный корень и арифметический квадратный корень

Квадратным корнем из числа $a$ называют число, квадрат которого равен $a$. У числа 25 два квадратных корня: $5$ и $-5$, ведь $5^2 = (-5)^2 = 25$.

Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Обозначение: $\sqrt{a}$. Знак $\sqrt{\phantom{a}}$ называют радикалом, а выражение под ним — подкоренным.

$\sqrt{a} = b \quad \Longleftrightarrow \quad b \ge 0 \ \text{и} \ b^2 = a.$

Примеры: $\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$, $\sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9}$, $\sqrt{0} = 0$.

Важно:

• выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл только при $a \ge 0$: $\sqrt{-4}$ не существует (среди действительных чисел), ведь квадрат любого числа неотрицателен;
• $\sqrt{a} \ge 0$ всегда;
• $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$.

Уравнение x² = a

• если $a > 0$ — два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$;
• если $a = 0$ — один корень: $x = 0$;
• если $a < 0$ — корней нет.

Разобранный пример 1

Решите уравнения: а) $x^2 = 36$; б) $x^2 = 7$; в) $x^2 = -9$.

1. а) $x = \pm 6$.
2. б) $x = \pm \sqrt{7}$ — ответ оставляем с корнем; приближённо $\pm 2{,}65$.
3. в) Корней нет.

Иррациональные числа

Существует ли дробь, квадрат которой равен 2? Ещё древние греки доказали: нет. Число $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots$ записывается бесконечной непериодической десятичной дробью. Такие числа называют иррациональными. Другие примеры: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, число $\pi$.

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел $\mathbb{R}$. Каждой точке числовой прямой соответствует действительное число.

Корень из натурального числа, которое не является точным квадратом, — иррациональное число. Поэтому $\sqrt{16} = 4$ — рациональное, а $\sqrt{15}$ — иррациональное.

Приближённые значения корня

Чтобы оценить корень, найдите между какими точными квадратами лежит подкоренное число: $36 < 40 < 49$, значит, $6 < \sqrt{40} < 7$. Уточнить можно подбором: $6{,}3^2 = 39{,}69$, $6{,}4^2 = 40{,}96$, поэтому $\sqrt{40} \approx 6{,}3$.

Разобранный пример 2

Между какими целыми числами находится $\sqrt{90}$?

$81 < 90 < 100$, поэтому $9 < \sqrt{90} < 10$.

Свойства арифметического квадратного корня

При $a \ge 0$, $b \ge 0$ (во второй формуле $b > 0$):

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \qquad \sqrt{a^2} = |a|.$

Последнее свойство особенно коварно: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$, а не $-5$.

Разобранный пример 3

Вычислите: а) $\sqrt{16 \cdot 81}$; б) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}$; в) $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$; г) $\sqrt{(3 - \pi)^2}$.

1. а) $4 \cdot 9 = 36$.
2. б) $\sqrt{36} = 6$.
3. в) $\sqrt{25} = 5$.
4. г) $|3 - \pi| = \pi - 3$, так как $\pi > 3$.

Корень из суммы — не сумма корней! $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

Функция y = √x

Свойства функции $y = \sqrt{x}$:

1. Область определения: $x \ge 0$; область значений: $y \ge 0$.
2. Функция возрастает: большему $x$ соответствует больший $\sqrt{x}$. Поэтому $\sqrt{17} < \sqrt{19}$.
3. График — ветвь параболы $x = y^2$, симметричная правой ветви параболы $y = x^2$ относительно прямой $y = x$.

Где встречаются квадратные корни

• Геометрия. Диагональ квадрата со стороной 1 равна $\sqrt{2}$, высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Расстояние между точками на плоскости вычисляется по формуле с корнем.
• Физика. Скорость тела, свободно упавшего с высоты $h$, равна $\sqrt{2gh}$; период маятника пропорционален корню из его длины.
• Повседневная жизнь. Экран телевизора с диагональю 55 дюймов и соотношением сторон 16 : 9 имеет ширину около $55 \cdot \frac{16}{\sqrt{16^2 + 9^2}} \approx 48$ дюймов — тоже вычисление через корень.

История вопроса

Пифагорейцы (VI–V века до н. э.) верили, что «всё есть число», понимая под числами целые числа и их отношения. Открытие того, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (то есть $\sqrt{2}$ не является дробью), стало для них потрясением. По легенде, пифагорейца Гиппаса, разгласившего эту тайну, постигла кара богов — он утонул в море. Знак корня $\sqrt{\phantom{a}}$ появился в 1525 году у немецкого математика Кристофа Рудольфа: это стилизованная буква r от латинского radix — «корень». Черту над подкоренным выражением добавил Рене Декарт.

Типичные ошибки

• Писать $\sqrt{25} = \pm 5$. Арифметический корень — неотрицательное число: $\sqrt{25} = 5$.
• Терять второй корень уравнения $x^2 = 9$: корней два, $\pm 3$.
• Считать, что $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Забывать модуль: $\sqrt{x^2} = |x|$, а не $x$.
• Извлекать корень из отрицательного числа.

Что дальше

• Преобразование выражений с квадратными корнями — вынесение множителя из-под корня, избавление от иррациональности.
• Квадратные уравнения — формула корней квадратного уравнения.
• Теорема Пифагора — теорема Пифагора и вычисление длин.
• Степенная функция. Корень n-й степени — корни $n$-й степени.