Рациональные неравенства и метод интервалов

Зачем это нужно

Неравенства с дробями встречаются при нахождении области определения функций, в задачах на оптимизацию, в физике и экономике (например, условия, при которых средние издержки ниже цены). В профильном ЕГЭ задание 15 почти всегда сводится к рациональному неравенству. Главная трудность — знаменатель: умножать на него нельзя, ведь его знак неизвестен, а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Метод интервалов решает эту проблему элегантно и надёжно.

Главная идея

Дробь $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ меняет знак только в точках, где числитель или знаменатель обращается в нуль. Поэтому

$\frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \iff P(x) \cdot Q(x) > 0 \quad (\text{и } Q(x) \ne 0).$

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя.

Алгоритм решения

1. Перенесите всё в одну часть, чтобы справа был 0.
2. Приведите к общему знаменателю и запишите в виде одной дроби.
3. Разложите числитель и знаменатель на множители вида $(x - a)$.
4. Отметьте на прямой нули числителя и знаменателя:
   • нули знаменателя — всегда выколотые точки (на нуль делить нельзя);
   • нули числителя — закрашенные при нестрогом неравенстве ($\ge$, $\le$) и выколотые при строгом.
5. Расставьте знаки на интервалах (справа налево, меняя знак при переходе через корень нечётной кратности).
6. Запишите ответ.

Разобранный пример 1

Решите $\dfrac{x + 2}{x - 3} \ge 0$.

1. Нуль числителя $x = -2$ (закрашенный), нуль знаменателя $x = 3$ (выколотый).
2. Знаки: правее 3 — «+», между — «−», левее $-2$ — «+».
3. Ответ: $(-\infty; -2] \cup (3; +\infty)$.

Разобранный пример 2

Решите $\dfrac{2}{x - 1} < 1$.

1. Перенос: $\dfrac{2}{x - 1} - 1 < 0$, $\dfrac{2 - (x - 1)}{x - 1} < 0$, $\dfrac{3 - x}{x - 1} < 0$.
2. Удобно сделать старший коэффициент положительным: $\dfrac{x - 3}{x - 1} > 0$ (умножили на $-1$ и сменили знак неравенства).
3. Точки $1$ и $3$ выколоты; знаки: $+$, $-$, $+$.
4. Ответ: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Ошибка: «умножить обе части на $x - 1$» и получить $2 < x - 1$. Так теряется случай $x - 1 < 0$, когда знак неравенства должен поменяться.

Разобранный пример 3

Решите $\dfrac{(x - 2)^2 (x + 1)}{x - 4} \le 0$.

1. Нули: $x = 2$ (чётной кратности, закрашен), $x = -1$ (закрашен), $x = 4$ (выколот).
2. Знаки справа налево: правее 4 — «+», от 2 до 4 — «−», от $-1$ до 2 — «−» (через 2 знак не меняется), левее $-1$ — «+».
3. Ответ: $[-1; 4)$. Точка 2 входит в ответ, так как там дробь равна нулю.

Нахождение области определения

Метод интервалов нужен и для поиска области определения. Выражение $\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 5}}$ имеет смысл, когда $\dfrac{x - 1}{x + 5} \ge 0$: это $(-\infty; -5) \cup [1; +\infty)$.

Как избежать ошибок

Проверка точками. После решения возьмите по одной точке из каждого промежутка ответа и подставьте в исходное неравенство (не в преобразованное). Если хоть одна не подходит — где-то ошибка. Отдельно убедитесь, что нули знаменателя в ответ не попали.

Старший коэффициент. Перед расстановкой знаков удобно добиться, чтобы во всех множителях при $x$ стоял коэффициент $+1$: множители вида $(3 - x)$ записывают как $-(x - 3)$ и выносят минус, меняя знак неравенства. Тогда на крайнем правом интервале всегда стоит «+».

Сокращение дробей. Сокращать числитель и знаменатель на общий множитель можно, но точку, где он обращается в нуль, нужно исключить из ответа. Например, $\frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} > 0$ равносильно $x + 3 > 0$ при $x \ne 1$: ответ $(-3; 1) \cup (1; +\infty)$.

Метод интервалов и графики функций

Метод интервалов — это, по сути, способ узнать знак функции на всей числовой прямой, не строя её график. Нули числителя — это точки, где график пересекает ось $x$, а нули знаменателя — вертикальные асимптоты, через которые график «перепрыгивает». Если построить в Desmos график $y = \frac{x + 2}{x - 3}$, хорошо видно: выше оси он лежит левее $-2$ и правее $3$, а между ними — ниже оси. Ответ примера 1 можно прочитать прямо с рисунка.

Типичные ошибки

• Умножать неравенство на выражение с переменной, знак которого неизвестен, — так теряются или появляются лишние решения.
• Закрашивать нули знаменателя при нестрогом неравенстве.
• Забывать переносить всё в одну часть и сравнивать дробь не с нулём, а с другим числом.
• Менять знак при переходе через корень чётной кратности.
• Терять изолированные точки (как $x = 2$ в примере 3) при нестрогом неравенстве.

Что дальше

• Методы решения неравенств — общие методы решения неравенств в старших классах.