Рациональные дроби. Сокращение, сложение и вычитание

Зачем это нужно

Дроби с буквами появляются повсюду, где величины делятся друг на друга: скорость $v = \frac{s}{t}$, плотность $\rho = \frac{m}{V}$, сопротивление параллельно соединённых проводников $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$, время совместной работы. Чтобы решать уравнения и задачи с такими выражениями, нужно уметь их упрощать: сокращать, складывать, вычитать. По сути, это те же действия, что с обыкновенными дробями в 6 классе, только вместо чисел — многочлены.

Рациональные выражения и допустимые значения

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, называют рациональными:

• целые — без деления на выражение с переменной: $3a^2 - 5b$, $\frac{x}{4} + 1$;
• дробные — содержат деление на выражение с переменной: $\frac{5}{x}$, $\frac{a + b}{a - b}$.

Рациональная дробь — дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены: $\frac{x + 1}{x^2 - 4}$.

На нуль делить нельзя, поэтому у дробного выражения есть допустимые значения переменных — те, при которых знаменатель не равен нулю.

Разобранный пример 1

Найдите допустимые значения переменной в выражении $\dfrac{x + 1}{(x - 2)(x + 3)}$.

1. Знаменатель равен нулю, если $x - 2 = 0$ или $x + 3 = 0$, то есть при $x = 2$ и $x = -3$.
2. Допустимые значения: все числа, кроме $-3$ и $2$.

Основное свойство дроби. Сокращение

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, получится дробь, тождественно равная данной:

$\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}, \qquad c \ne 0.$

Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. Алгоритм:

1. Разложите числитель и знаменатель на множители (вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, группировка).
2. Найдите общие множители.
3. Разделите на них числитель и знаменатель.

Разобранный пример 2

Сократите дробь $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$.

1. Числитель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ — разность квадратов.
2. Знаменатель: $x^2 + 3x = x(x + 3)$ — общий множитель.
3. $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \dfrac{x - 3}{x}$.
4. Проверка при $x = 1$: исходная дробь $\frac{-8}{4} = -2$, результат $\frac{-2}{1} = -2$. Верно.

Внимание: сокращать можно только множители, а не слагаемые! $\frac{x + 3}{x}$ нельзя сократить на $x$.

Смена знака. Полезное тождество: $a - b = -(b - a)$. Поэтому

$\frac{a - b}{b - a} = -1, \qquad \frac{2 - x}{x^2 - 4} = \frac{-(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = -\frac{1}{x + 2}.$

Сложение и вычитание дробей

С одинаковыми знаменателями — складываем (вычитаем) числители, знаменатель оставляем:

$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}.$

С разными знаменателями — приводим к общему знаменателю:

1. Разложите знаменатели на множители.
2. Составьте наименьший общий знаменатель: произведение всех различных множителей, каждый — в наибольшей степени.
3. Найдите дополнительные множители для каждой дроби.
4. Умножьте числители на дополнительные множители, сложите (вычтите).
5. Упростите числитель и, если можно, сократите результат.

Разобранный пример 3

Упростите $\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{12}{x^2 - 4}$.

1. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$; общий знаменатель $(x - 2)(x + 2)$.
2. Дополнительный множитель первой дроби — $(x + 2)$.
3. $\dfrac{3(x + 2) - 12}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{3x - 6}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{3}{x + 2}$.
4. Проверка при $x = 0$: $\frac{3}{-2} - \frac{12}{-4} = -1{,}5 + 3 = 1{,}5$; результат $\frac{3}{2} = 1{,}5$. Верно.

Разобранный пример 4

Упростите $\dfrac{a}{a - b} + \dfrac{b}{b - a}$.

Заменим $b - a = -(a - b)$: $\dfrac{a}{a - b} - \dfrac{b}{a - b} = \dfrac{a - b}{a - b} = 1$.

Разобранный пример 5

Упростите $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}$ и найдите значение при $x = 3$.

1. Общий знаменатель $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
2. $\dfrac{(x + 1) - (x - 1)}{x^2 - 1} = \dfrac{2}{x^2 - 1}$. Обратите внимание на скобки: минус относится ко всему второму числителю.
3. При $x = 3$: $\dfrac{2}{9 - 1} = \dfrac{1}{4}$. Проверка по исходному выражению: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Верно.

Такие разности встречаются в задачах на суммирование: например, $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots$ легко сосчитать, если каждое слагаемое записать как половину разности двух дробей.

Как проверить себя

Любое преобразование дроби можно проверить подстановкой числа. Выберите удобное допустимое значение переменной (не обращающее знаменатели в нуль), например $x = 1$ или $x = 0$, и вычислите исходное выражение и результат. Если значения различаются — где-то ошибка. Если совпали — ответ, скорее всего, верен (для полной уверенности можно проверить ещё одно значение).

Где встречаются рациональные дроби

• Физика. Общее сопротивление двух параллельно соединённых проводников: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$, откуда $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ — это и есть сложение рациональных дробей.
• Задачи на работу. Если один рабочий выполняет работу за $a$ часов, а другой — за $b$ часов, то за час вместе они выполнят $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ всей работы.
• Средняя скорость. Если половину пути ехали со скоростью $v_1$, а половину — со скоростью $v_2$, средняя скорость равна $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

Типичные ошибки

• Сокращать слагаемые: $\frac{x + 5}{x + 7} \ne \frac{5}{7}$.
• Забывать про допустимые значения: после сокращения $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$ значение $x = -3$ по-прежнему недопустимо.
• Терять минус перед дробью при вычитании: $-\frac{x - 1}{y} = \frac{-x + 1}{y}$ — знак меняется у всего числителя.
• Брать в качестве общего знаменателя просто произведение знаменателей, не разложив их, — выражения получаются громоздкими.
• Неверно раскладывать: $x^2 + 9$ на множители не раскладывается.

Что дальше

• Умножение и деление рациональных дробей. Функция y = k/x — умножение и деление дробей, функция $y = \frac{k}{x}$.
• Рациональные неравенства и метод интервалов — рациональные неравенства и метод интервалов.
• Последовательное и параллельное соединение проводников — формулы для параллельного соединения проводников содержат рациональные дроби.