Числовые и линейные неравенства. Системы неравенств

Зачем это нужно

В жизни часто важно не точное значение, а граница: «скорость не больше 60 км/ч», «температура выше нуля», «бюджет не превышает 5000 рублей», «рост не меньше 120 см для аттракциона». Математически это неравенства. Они помогают находить допустимые значения величин, оценивать результаты, сравнивать числа, решать задачи оптимизации. В старших классах без неравенств не обойтись при исследовании функций, а задание на неравенство есть в ОГЭ и ЕГЭ.

Числовые неравенства

Число $a$ больше числа $b$ , если разность $a - b$ положительна; $a < b$ , если $a - b < 0$ . Это определение даёт универсальный способ сравнивать выражения: составить разность и определить её знак.

Разобранный пример 1

Докажите, что $a^2 + 1 \ge 2a$ при любом $a$ .

Разность: $a^2 + 1 - 2a = (a - 1)^2 \ge 0$ . Значит, неравенство верно; равенство — только при $a = 1$ .

Свойства числовых неравенств

Если $a > b$ и $b > c$ , то $a > c$ (транзитивность).
К обеим частям можно прибавить одно и то же число: $a > b \Rightarrow a + c > b + c$ .
Обе части можно умножить на положительное число, знак сохраняется: $a > b,\ c > 0 \Rightarrow ac > bc$ .
При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $a > b,\ c < 0 \Rightarrow ac < bc$ .
Неравенства одного знака можно почленно складывать: $a > b,\ c > d \Rightarrow a + c > b + d$ .
Неравенства одного знака с положительными частями можно почленно перемножать.

Свойство 4 — самое важное и самое «коварное»: $3 > 2$ , но $-3 < -2$ .

Разобранный пример 2

Известно, что $2 < x < 5$ . Оцените $3x - 1$ и $-2x$ .

$6 < 3x < 15$ , затем $5 < 3x - 1 < 14$ .
Умножаем на $-2$ , меняя знаки: $-10 < -2x < -4$ .

Числовые промежутки

Множества решений неравенств изображают на числовой прямой и записывают промежутками:

Неравенство	Промежуток	На прямой
$x > 3$	$(3; +\infty)$	точка выколота
$x \ge 3$	$[3; +\infty)$	точка закрашена
$x < 3$	$(-\infty; 3)$	точка выколота
$-1 \le x < 4$	$[-1; 4)$	левая закрашена, правая выколота

Круглая скобка — конец не входит, квадратная — входит. У бесконечности скобка всегда круглая.

Линейные неравенства с одной переменной

Решить неравенство — найти все значения переменной, при которых оно верно. Линейное неравенство $ax + b > 0$ решают так же, как уравнение, но помня свойство 4.

Разобранный пример 3

Решите неравенство $5 - 3x \ge 2x - 10$ .

Переносим: $-3x - 2x \ge -10 - 5$ , то есть $-5x \ge -15$ .
Делим на $-5$ и меняем знак: $x \le 3$ .
Ответ: $(-\infty; 3]$ .

Разобранный пример 4

Решите $\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x}{3} < 1$ .

Умножаем на 6 (> 0): $3(x - 1) - 2x < 6$ .
$x - 3 < 6$ , $x < 9$ . Ответ: $(-\infty; 9)$ .

Системы неравенств

Решение системы — значения переменной, удовлетворяющие всем неравенствам одновременно, то есть пересечение их множеств решений.

Решение системы x > −2 и x ≤ 3 на числовой прямой: штриховка первого неравенства вправо от выколотой точки −2, второго — влево от закрашенной точки 3; общая часть — от −2 (не включая) до 3 (включая)

Разобранный пример 5

Решите систему $\begin{cases} 2x + 5 > 1, \\ 3 - x \ge 0. \end{cases}$

Первое: $2x > -4$ , $x > -2$ .
Второе: $-x \ge -3$ , $x \le 3$ .
Пересечение: $-2 < x \le 3$ , то есть $(-2; 3]$ .

Двойное неравенство $-1 < 2x + 3 \le 7$ — тоже система; решают, действуя сразу со всеми тремя частями: $-4 < 2x \le 4$ , $-2 < x \le 2$ .

Если промежутки не пересекаются, система не имеет решений.

Применение неравенств

Оценка результата вычислений. Если длина комнаты $4{,}2 < a < 4{,}3$ м, а ширина $3{,}1 < b < 3{,}2$ м, то площадь $13{,}02 < ab < 13{,}76$ м². Так оценивают точность измерений: зная границы исходных данных, получают границы результата.

Выбор выгодного варианта. Тариф А: 300 руб. в месяц и 2 руб. за минуту. Тариф Б: 500 руб. и 1 руб. за минуту. Когда Б выгоднее? Решаем $500 + x < 300 + 2x$ , откуда $x > 200$ минут в месяц.

Допустимые значения. Неравенства задают ограничения в задачах: скорость не может быть отрицательной, количество людей — дробным, а под корнем должно стоять неотрицательное число. Например, выражение $\sqrt{6 - 2x}$ имеет смысл при $6 - 2x \ge 0$ , то есть при $x \le 3$ .

История вопроса

Знаки $>$ и $<$ ввёл английский математик Томас Гарриот; они появились в его книге, изданной в 1631 году, уже после смерти автора. Знаки $\ge$ и $\le$ предложил француз Пьер Бугер в 1734 году. А общая теория неравенств сложилась в XIX–XX веках; знаменитое неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом было известно ещё Евклиду в геометрической форме.

Типичные ошибки

Не менять знак неравенства при умножении или делении на отрицательное число.
Путать круглые и квадратные скобки: при строгом неравенстве конец не входит.
Ставить квадратную скобку у бесконечности.
Записывать в ответ системы объединение вместо пересечения.
Почленно вычитать неравенства одного знака — так делать нельзя.

Что дальше

Квадратные неравенства. Метод интервалов — квадратные неравенства и метод интервалов.
Рациональные неравенства и метод интервалов — рациональные неравенства.