Углы в пространстве. Перпендикулярность плоскостей

Зачем это нужно

Крыша наклонена к стене дома под определённым углом, взлётная полоса — к горизонту, луч солнца — к поверхности солнечной батареи. Всё это углы в пространстве: между прямой и плоскостью или между двумя плоскостями. От них зависит, сколько снега удержит крыша, сколько энергии даст батарея, как прочна конструкция. В стереометрических задачах ЕГЭ нахождение угла — одна из самых частых целей, а сводится оно всегда к углу обычного треугольника.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол $90^\circ$; если параллельна или лежит в ней — $0^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $AHM$: $\sin\varphi = \frac{AH}{AM}$, $\cos\varphi = \frac{HM}{AM}$, $\operatorname{tg}\varphi = \frac{AH}{HM}$.

Разобранный пример 1

Найдите угол между диагональю куба $B_1D$ и плоскостью основания.

Проекция $B_1D$ на основание — диагональ $BD = a\sqrt{2}$, перпендикуляр $BB_1 = a$. $\operatorname{tg}\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\varphi \approx 35{,}3^\circ$.

Разобранный пример 2

Наклонная длиной 10 проведена из точки, удалённой от плоскости на 5. Найдите угол наклона. $\sin\varphi = \frac{5}{10}$, $\varphi = 30^\circ$.

Двугранный угол

Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общей граничной прямой (ребром). Его меряют линейным углом: из точки ребра в каждой грани проводят луч, перпендикулярный ребру; угол между лучами и есть линейный угол. Все линейные углы двугранного угла равны.

Угол между плоскостями — наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

Разобранный пример 3

В кубе найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ABC_1$.

Ребро — $AB$. В плоскости основания $BC \perp AB$, в плоскости $ABC_1$ $BC_1 \perp AB$ (по теореме о трёх перпендикулярах). Линейный угол $\angle C_1BC = 45^\circ$.

Разобранный пример 4

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, высота 4. Найдите двугранный угол при основании.

1. Проведём апофему $SM$ к середине стороны основания и отрезок $OM = 3$ из центра основания.
2. $SM \perp$ стороне и $OM \perp$ стороне, значит, $\angle SMO$ — линейный угол.
3. $\operatorname{tg}\angle SMO = \frac{4}{3}$, угол $\approx 53{,}1^\circ$; апофема $SM = 5$.

Перпендикулярные плоскости

Плоскости перпендикулярны, если угол между ними $90^\circ$.

Признак. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Стены комнаты перпендикулярны полу, потому что содержат вертикальные (перпендикулярные полу) линии углов. Свойство: если плоскости перпендикулярны, то прямая, проведённая в одной из них перпендикулярно линии пересечения, перпендикулярна и другой плоскости.

Прямоугольный параллелепипед

У прямоугольного параллелепипеда все шесть граней — прямоугольники, все двугранные углы прямые, а квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Разобранный пример 5

Измерения 3, 4, 12. Найдите синус угла между диагональю и плоскостью основания.

Диагональ $\sqrt{9 + 16 + 144} = 13$, высота 12, поэтому $\sin\varphi = \frac{12}{13}$.

Как искать углы: алгоритм

Угол между прямой и плоскостью:

1. Возьмите на прямой удобную точку и опустите из неё перпендикуляр на плоскость. Часто подходит ребро, уже перпендикулярное плоскости.
2. Соедините основание перпендикуляра с точкой пересечения прямой и плоскости — это проекция.
3. Найдите угол из прямоугольного треугольника «перпендикуляр — проекция — наклонная».

Угол между плоскостями:

1. Найдите линию их пересечения (ребро).
2. Выберите на ребре точку, из которой удобно провести перпендикуляры к ребру в обеих плоскостях. Часто помогает теорема о трёх перпендикулярах.
3. Вычислите линейный угол из треугольника.

Если построение сложное, выручает формула площади проекции: площадь проекции многоугольника равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями. Ею удобно пользоваться, когда известны обе площади.

Углы вокруг нас

Солнечная панель даёт больше всего энергии, когда лучи падают на неё перпендикулярно. Поэтому в средних широтах панели наклоняют к горизонту примерно под углом, равным широте местности: в Москве около $55^\circ$. Двугранные углы граней кристаллов постоянны для каждого минерала, и по ним минералоги определяют вещество.

Типичные ошибки

• Брать угол между наклонной и произвольной прямой плоскости, а не проекцией.
• Строить «линейный угол» из лучей, не перпендикулярных ребру.
• Путать угол между плоскостями (не больше $90^\circ$) и двугранный угол (до $180^\circ$).
• Забывать доказать, что построенный угол — именно линейный.
• Проверять перпендикулярность плоскостей по одной паре прямых без признака.

Что дальше

• Многогранники — многогранники, пирамиды и их углы.