Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах

Зачем это нужно

Столб должен стоять вертикально, то есть перпендикулярно земле. Как это проверить, если нельзя приложить угольник ко всей земле сразу? Оказывается, достаточно проверить перпендикулярность двум прямым на земле. Эта и другие теоремы темы — основа вычисления расстояний в пространстве: от точки до плоскости, от точки до прямой, между плоскостями. А теорема о трёх перпендикулярах — самый частый инструмент в стереометрических задачах ЕГЭ.

Прямая, перпендикулярная плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Поэтому плотник проверяет вертикальность столба угольником в двух разных направлениях, а не в одном.

Свойства:

• две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны;
• если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна ей;
• через точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Перпендикуляр и наклонные

Пусть из точки $A$ вне плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AM$. Точка $H$ — основание перпендикуляра, отрезок $HM$ — проекция наклонной на плоскость.

• Перпендикуляр короче любой наклонной: $AM^2 = AH^2 + HM^2$.
• Длина перпендикуляра — расстояние от точки до плоскости.
• Равные наклонные имеют равные проекции; бо́льшая наклонная имеет бо́льшую проекцию.

Разобранный пример 1

Точка удалена от плоскости на 12, наклонная равна 13. Найдите проекцию наклонной. $\sqrt{169 - 144} = 5$.

Разобранный пример 2

Из точки к плоскости проведены наклонные 10 и 17. Их проекции различаются на 9. Найдите расстояние от точки до плоскости.

1. Пусть проекции $x$ и $x + 9$, а расстояние $h$. Тогда $h^2 = 100 - x^2 = 289 - (x + 9)^2$.
2. $(x + 9)^2 - x^2 = 189$, то есть $18x + 81 = 189$, $x = 6$.
3. $h = \sqrt{100 - 36} = 8$.

Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательство прямой теоремы. Прямая $a$ перпендикулярна $HM$ по условию и $AH$ (так как $AH \perp \alpha$). Эти две прямые пересекаются, значит, $a$ перпендикулярна плоскости $AHM$, а потому и прямой $AM$ этой плоскости. ∎

Разобранный пример 3

ABCD — квадрат, $SA \perp (ABC)$. Докажите, что $SB \perp BC$.

$AB$ — проекция наклонной $SB$ на плоскость основания. Так как $BC \perp AB$, по теореме о трёх перпендикулярах $BC \perp SB$. Значит, треугольник $SBC$ прямоугольный.

Разобранный пример 4

Найдите расстояние от вершины $A_1$ куба с ребром 3 до прямой $BC$.

$A_1B$ — наклонная к плоскости основания, её проекция $AB \perp BC$, значит, $A_1B \perp BC$ и искомое расстояние равно $A_1B = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$.

Расстояния в пространстве

• от точки до плоскости — длина перпендикуляра;
• между параллельными плоскостями — расстояние от любой точки одной до другой;
• от прямой до параллельной ей плоскости — расстояние от любой точки прямой до плоскости;
• между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра (подробнее в 11 классе).

Разобранный пример 5

Отрезок AB длиной 25 своими концами упирается в две параллельные плоскости, расстояние между которыми 7. Найдите проекцию отрезка на одну из плоскостей.

Проекция — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 25 и вторым катетом 7: $\sqrt{625 - 49} = 24$.

Как искать расстояние от точки до плоскости

1. Найдите плоскость, которая проходит через точку и перпендикулярна данной. Обычно её подсказывают уже имеющиеся перпендикуляры на рисунке.
2. Опустите перпендикуляр из точки на линию пересечения этих плоскостей: он и будет перпендикуляром к данной плоскости.
3. Вычислите его длину из прямоугольного треугольника или через площади.

Например, расстояние от вершины $A$ куба с ребром $a$ до плоскости $A_1BD$ равно $\frac{a}{\sqrt{3}}$: это треть диагонали куба $a\sqrt{3}$.

Типичные ошибки

• Проверять перпендикулярность плоскости по одной прямой или по двум параллельным прямым.
• Путать наклонную и её проекцию.
• Применять теорему о трёх перпендикулярах к прямой, не лежащей в плоскости проекции.
• Считать расстоянием от точки до плоскости длину наклонной.
• Забывать прямой угол между перпендикуляром и проекцией при применении теоремы Пифагора.

Что дальше

• Углы в пространстве. Перпендикулярность плоскостей — угол между прямой и плоскостью, двугранные углы.