Многогранники

Зачем это нужно

Кристаллы соли и алмаза, пчелиные соты, египетские пирамиды, упаковки молока, футбольный мяч из пятиугольников и шестиугольников — многогранники вокруг нас повсюду. Умение находить их площадь поверхности нужно, чтобы рассчитать количество материала на коробку, краски на стены, стекла на теплицу. В этой теме мы изучим призмы и пирамиды строго, научимся считать их площади и познакомимся с пятью правильными многогранниками.

Призма

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные (боковые грани) — параллелограммы. Высота — расстояние между плоскостями оснований.

• Прямая призма: боковые рёбра перпендикулярны основаниям, боковые грани — прямоугольники.
• Правильная призма: прямая, и в основании правильный многоугольник.

Площадь боковой поверхности прямой призмы:

$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h, \qquad S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}.$

Развернём боковую поверхность — получится прямоугольник со сторонами $P_{\text{осн}}$ и $h$.

Разобранный пример 1

Правильная треугольная призма: сторона основания 4, высота 10. Найдите площадь полной поверхности.

$S_{\text{бок}} = 12 \cdot 10 = 120$; $S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3}$; $S_{\text{полн}} = 120 + 8\sqrt{3} \approx 133{,}9$.

Пирамида

Пирамида $SA_1A_2\ldots A_n$ — многогранник, основание которого — многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной $S$. Высота — перпендикуляр из вершины к плоскости основания.

Правильная пирамида: в основании правильный многоугольник, а высота падает в его центр. Тогда все боковые рёбра равны, боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани, проведённая из вершины, — апофема.

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l, \quad l \text{ — апофема}.$

Разобранный пример 2

Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, апофема 5. Найдите площадь полной поверхности.

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$, $S_{\text{осн}} = 36$, $S_{\text{полн}} = 96$.

Разобранный пример 3

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 10, боковое ребро 13. Найдите апофему и высоту.

Апофема — катет треугольника с гипотенузой 13 и половиной стороны 5: $\sqrt{169 - 25} = 12$. Высота: из треугольника $SOM$, где $OM = 5$: $\sqrt{144 - 25} = \sqrt{119} \approx 10{,}9$.

Усечённая пирамида получается, если отсечь от пирамиды верхнюю часть плоскостью, параллельной основанию. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: $\frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$.

Разобранный пример 4

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида: стороны оснований 4 и 10, апофема 5. Найдите площадь боковой поверхности.

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}(16 + 40) \cdot 5 = 140$. Каждая боковая грань — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 10 и высотой 5, её площадь 35, а граней четыре.

Правильные многогранники

Многогранник правильный, если он выпуклый, все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Таких многогранников ровно пять:

Почему не больше? Сумма плоских углов в вершине выпуклого многогранника меньше $360^\circ$. Треугольников ($60^\circ$) в вершине может быть 3, 4 или 5, квадратов ($90^\circ$) — только 3, пятиугольников ($108^\circ$) — только 3, а шестиугольники ($120^\circ$) уже не подходят: $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$.

Теорема Эйлера: для любого выпуклого многогранника $В - Р + Г = 2$. Проверка для додекаэдра: $20 - 30 + 12 = 2$.

Симметрия многогранников

Правильные многогранники обладают богатой симметрией. У куба есть центр симметрии, 9 плоскостей симметрии и 13 осей симметрии. Поворотом вокруг такой оси куб совмещается сам с собой: на $90^\circ$ вокруг оси через центры противоположных граней, на $120^\circ$ вокруг диагонали, на $180^\circ$ вокруг оси через середины противоположных рёбер. Симметрии многогранников изучает теория групп, а применяют её в кристаллографии и химии.

Многогранники в природе и технике

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, у пирита бывают кубы и додекаэдры, некоторые вирусы имеют форму икосаэдра. Классический футбольный мяч сшит из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников — это усечённый икосаэдр. Пчелиные соты — шестиугольные призмы: такая форма позволяет плотно заполнить пространство, расходуя меньше воска. Платон связывал пять правильных многогранников с огнём, землёй, воздухом, водой и Вселенной — отсюда их второе название, платоновы тела.

Типичные ошибки

• Применять формулу $P \cdot h$ к наклонной призме.
• Путать апофему (высоту боковой грани) с высотой пирамиды или боковым ребром.
• Забывать прибавить площади оснований к боковой поверхности.
• Считать правильной любую пирамиду с правильным основанием: нужно, чтобы высота падала в центр.
• Думать, что правильных многогранников бесконечно много, как правильных многоугольников.

Что дальше

• Цилиндр, конус, шар — цилиндр, конус и шар.