Синус, косинус, тангенс острого угла

Зачем это нужно

Теорема Пифагора связывает только стороны прямоугольного треугольника. А как найти сторону, если известны другая сторона и угол? Например: лестница длиной 6 м стоит под углом $70^\circ$ к земле — на какую высоту она достаёт? Самолёт набирает высоту под углом $15^\circ$ — какую высоту он наберёт, пролетев 10 км? Для таких задач служат тригонометрические функции угла: синус, косинус и тангенс. Это начало тригонометрии — раздела математики, без которого не обходятся геодезия, навигация, астрономия, строительство, физика колебаний и волн.

Определения

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\alpha = \angle A$ — острый угол. Относительно угла $\alpha$:

• $BC$ — противолежащий катет (лежит напротив угла);
• $AC$ — прилежащий катет (образует угол вместе с гипотенузой);
• $AB$ — гипотенуза.

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}, \qquad \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB},$

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}, \qquad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{AC}{BC}.$

Почему это корректно? Все прямоугольные треугольники с одним и тем же острым углом $\alpha$ подобны (по двум углам), поэтому отношения их сторон одинаковы и зависят только от угла, а не от размеров треугольника.

Так как катет меньше гипотенузы, для острого угла $0 < \sin \alpha < 1$ и $0 < \cos \alpha < 1$. Тангенс может быть любым положительным числом.

Разобранный пример 1

Катеты прямоугольного треугольника 3 и 4. Найдите синус, косинус и тангенс меньшего острого угла.

1. Гипотенуза: $\sqrt{9 + 16} = 5$.
2. Меньший угол лежит против меньшего катета (3).
3. $\sin \alpha = \frac{3}{5} = 0{,}6$, $\cos \alpha = \frac{4}{5} = 0{,}8$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Основные тождества

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1.$

Первое — основное тригонометрическое тождество — это теорема Пифагора, делённая на квадрат гипотенузы: $\frac{BC^2 + AC^2}{AB^2} = 1$.

Кроме того, для острых углов прямоугольного треугольника $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ и $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$: противолежащий катет для одного угла — прилежащий для другого.

Разобранный пример 2

$\cos \alpha = 0{,}6$. Найдите $\sin \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$ ($\alpha$ — острый угол).

1. $\sin \alpha = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$.
2. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3}$.

Значения для углов 30°, 45°, 60°

Их выводят из двух треугольников: половины равностороннего треугольника (углы $30^\circ$, $60^\circ$; стороны $1$, $\sqrt{3}$, $2$) и половины квадрата (углы $45^\circ$; стороны $1$, $1$, $\sqrt{2}$).

Решение прямоугольных треугольников

Из определений получаем формулы:

• катет = гипотенуза × синус противолежащего угла = гипотенуза × косинус прилежащего угла;
• катет = другой катет × тангенс угла, противолежащего первому катету.

Разобранный пример 3

Гипотенуза 10, острый угол $30^\circ$. Найдите катеты.

1. Противолежащий катет: $10 \cdot \sin 30^\circ = 5$.
2. Прилежащий катет: $10 \cdot \cos 30^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$.

Разобранный пример 4

Из точки на земле вершина башни видна под углом $60^\circ$ к горизонту. Расстояние до основания башни 20 м. Найдите высоту башни.

$h = 20 \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 20\sqrt{3} \approx 34{,}6$ м.

Как запомнить определения

Удобно рассуждать так: синус и косинус — это доли гипотенузы. Синус показывает, какую часть гипотенузы составляет катет, лежащий напротив угла; косинус — катет, прилегающий к углу. Тангенс не использует гипотенузу: это отношение катетов, «противолежащий к прилежащему». На практике тангенс — это уклон: дорога с уклоном 10 % поднимается на 10 м на каждые 100 м по горизонтали, то есть тангенс угла подъёма равен 0,1.

Чем больше острый угол, тем больше его синус и тангенс и тем меньше косинус. При угле, близком к $0^\circ$, противолежащий катет почти исчезает — синус близок к 0, а косинус к 1; при угле, близком к $90^\circ$, — наоборот.

Где применяется тригонометрия

• Геодезия и картография. Расстояния до недоступных объектов вычисляют, измеряя углы теодолитом — метод триангуляции. Так в XIX веке измерили «дугу Струве» длиной 2820 км — она входит в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.
• Строительство. Угол наклона кровли, пандуса, лестницы задают через тангенс: пандус для колясок должен иметь уклон не более 1 : 12.
• Навигация и астрономия. По углу между Полярной звездой и горизонтом моряки определяли широту места.
• Физика. Разложение силы на составляющие: сила, направленная под углом $\alpha$, имеет горизонтальную составляющую $F \cos \alpha$ и вертикальную $F \sin \alpha$.

История вопроса

Тригонометрия зародилась в астрономии: древнегреческий учёный Гиппарх (II век до н. э.) составил первые таблицы хорд, а индийские математики ввели понятие, соответствующее синусу. Слово «синус» — неточный латинский перевод арабского слова «джайб». Таблицы тригонометрических функций с высокой точностью составил среднеазиатский астроном Улугбек в XV веке.

Типичные ошибки

• Путать противолежащий и прилежащий катеты: они определяются относительно конкретного угла.
• Делить на катет вместо гипотенузы в определении синуса и косинуса.
• Получать $\sin \alpha > 1$ — признак ошибки.
• Путать значения $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Применять определения к непрямоугольному треугольнику (для него нужны теоремы синусов и косинусов, 9 класс).

Что дальше

• Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников — теоремы синусов и косинусов для любых треугольников.
• Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга — правильные многоугольники, длина окружности.
• Углы в пространстве. Перпендикулярность плоскостей — углы в пространстве.