Аксиомы стереометрии и их следствия

Зачем это нужно

Стереометрия — геометрия пространства. В 9 классе мы познакомились с многогранниками и телами вращения на уровне формул, а теперь построим стереометрию строго, как когда-то планиметрию: от аксиом к теоремам. Это нужно не только для доказательств. Понимание того, как расположены прямые и плоскости, помогает строить сечения, читать чертежи, проектировать здания и мебель, работать в программах трёхмерного моделирования и решать задачи 14 профильного ЕГЭ.

Основные фигуры

В пространстве к точкам и прямым добавляется новая основная фигура — плоскость. Плоскости обозначают греческими буквами $\alpha, \beta, \gamma$, а на рисунке изображают параллелограммом, хотя плоскость бесконечна. Невидимые линии рисуют пунктиром. Все аксиомы и теоремы планиметрии верны в каждой плоскости пространства.

Аксиомы стереометрии

• А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
• А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
• А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Аксиома А1 объясняет, почему табурет на трёх ножках никогда не качается, а стол на четырёх может шататься: концы трёх ножек всегда лежат в одной плоскости, а четыре — не обязательно. Аксиома А2 позволяет проверять ровность поверхности линейкой: если линейка прилегает к поверхности в любом положении, поверхность плоская.

Следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Возьмём на прямой $a$ точки $P$ и $Q$, вне её — точку $M$. Точки $P, Q, M$ не лежат на одной прямой, по А1 через них проходит единственная плоскость $\alpha$. По А2 прямая $a$ лежит в $\alpha$. Любая другая плоскость через $a$ и $M$ содержала бы $P, Q, M$ и потому совпала бы с $\alpha$. ∎

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Итак, плоскость однозначно задаётся:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и точкой вне её;
3. двумя пересекающимися прямыми;
4. двумя параллельными прямыми (это докажем в теме о параллельности).

Разобранный пример 1

Сколько плоскостей можно провести через 4 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой и которые не лежат в одной плоскости?

Каждая тройка точек задаёт одну плоскость. Троек из четырёх точек $C_4^3 = 4$. Значит, плоскостей 4 — это грани тетраэдра.

Разобранный пример 2

Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. Прямая $c$ пересекает обе, но не проходит через $O$. Докажите, что все три прямые лежат в одной плоскости.

1. Через $a$ и $b$ проходит единственная плоскость $\alpha$ (теорема 2).
2. Прямая $c$ пересекает $a$ и $b$ в двух разных точках $A$ и $B$, обе лежат в $\alpha$.
3. По А2 вся прямая $c$ лежит в $\alpha$. ∎

Разобранный пример 3

Точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Нет. Если бы $A, B, C$ лежали на прямой, то через эту прямую и точку $D$ прошла бы плоскость (теорема 1), содержащая все четыре точки, — противоречие.

Пересечение прямой и плоскости

Прямая и плоскость могут:

• не иметь общих точек;
• иметь ровно одну общую точку (пересекаться);
• иметь бесконечно много общих точек — тогда по А2 прямая лежит в плоскости.

Двух общих точек «и не больше» быть не может: две общие точки сразу дают всю прямую.

Как изображать пространственные фигуры

На плоском рисунке сохраняются параллельность и отношения отрезков на параллельных прямых, но не сохраняются углы и длины. Поэтому куб изображают так: передняя грань — квадрат, задняя — такой же квадрат, сдвинутый вверх и вправо, невидимые рёбра — пунктиром. Это параллельная проекция, которую подробнее изучают в теме о сечениях.

Типичные ошибки

• Считать, что через любые три точки проходит единственная плоскость: если точки на одной прямой, плоскостей бесконечно много.
• Думать, что плоскость имеет края, как параллелограмм на рисунке.
• Путать «прямая лежит в плоскости» и «прямая пересекает плоскость».
• Переносить теоремы планиметрии на пространство без проверки, например «две непересекающиеся прямые параллельны».
• Рисовать невидимые линии сплошными.

Что дальше

• Параллельность прямых и плоскостей — параллельность прямых и плоскостей, скрещивающиеся прямые.