Параллельность прямых и плоскостей

Зачем это нужно

В пространстве прямые и плоскости располагаются разнообразнее, чем на плоскости. Две прямые могут не пересекаться и при этом не быть параллельными — как провода линии электропередачи и рельсы под ними. Понимание параллельности нужно, чтобы строить сечения многогранников, проектировать конструкции, читать архитектурные чертежи и решать стереометрические задачи ЕГЭ. Большинство таких задач начинается с вопроса: как расположены эти прямые и плоскости?

Взаимное расположение двух прямых

В пространстве две прямые могут:

1. пересекаться — одна общая точка, лежат в одной плоскости;
2. быть параллельными — лежат в одной плоскости и не пересекаются;
3. быть скрещивающимися — не лежат в одной плоскости (и, значит, не пересекаются).

Признак скрещивающихся прямых. Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются.

Транзитивность. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (в пространстве это теорема, а не очевидный факт).

Разобранный пример 1

Сколько рёбер куба скрещиваются с ребром AB?

Всего рёбер 12. Само ребро AB — одно. Параллельны ему 3 (DC, A₁B₁, D₁C₁). Пересекают его 4 (AD, AA₁, BC, BB₁). Скрещиваются $12 - 1 - 3 - 4 = 4$: CC₁, DD₁, A₁D₁, B₁C₁.

Угол между прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, параллельными им. Удобно перенести одну прямую параллельно так, чтобы она пересекла другую.

Разобранный пример 2

Найдите угол между диагоналями граней куба $A_1B$ и $B_1C$.

$B_1C \parallel A_1D$ (противоположные стороны прямоугольника $A_1B_1CD$). Значит, искомый угол равен углу между $A_1B$ и $A_1D$. Треугольник $A_1BD$ составлен из диагоналей граней и равносторонний, поэтому угол $60^\circ$.

Прямая и плоскость

Прямая и плоскость могут пересекаться, прямая может лежать в плоскости или быть параллельной плоскости (нет общих точек).

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Разобранный пример 3

В тетраэдре ABCD точки M и N — середины AB и AC. Докажите, что MN параллельна плоскости BCD.

MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому $MN \parallel BC$. Прямая BC лежит в плоскости BCD, а MN в ней не лежит. По признаку $MN \parallel (BCD)$. ∎

Параллельные плоскости

Признак. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства:

• если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны;
• отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны;
• через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Первое свойство — главный инструмент построения сечений: след секущей плоскости на параллельных гранях многогранника даёт параллельные отрезки.

Разобранный пример 4

Плоскость пересекает две противоположные грани куба. Какими будут отрезки сечения на этих гранях?

Противоположные грани лежат в параллельных плоскостях, поэтому линии пересечения с секущей плоскостью параллельны.

Параллельность вокруг нас

Строители проверяют параллельность перекрытий этажей уровнем, а параллельность стен — отвесом: если две стены параллельны одной вертикали, они параллельны между собой. Полки шкафа — параллельные плоскости, и рейки между ними равны по длине, как и положено отрезкам параллельных прямых между параллельными плоскостями. Пешеходный мост и шоссе под ним — пример скрещивающихся прямых: они не пересекаются, но и не параллельны.

Разобранный пример 5

Точка M лежит вне плоскости треугольника ABC. Как расположены прямые MA и BC?

Прямая BC лежит в плоскости ABC, а прямая MA пересекает эту плоскость в точке A, не лежащей на BC. По признаку скрещивающихся прямых MA и BC скрещиваются.

Типичные ошибки

• Считать непересекающиеся прямые параллельными, забывая о скрещивающихся.
• Думать, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой этой плоскости. Она может и скрещиваться с ними.
• Проверять параллельность плоскостей по двум параллельным, а не пересекающимся прямым.
• Искать угол между скрещивающимися прямыми «на глаз» по рисунку.
• Путать «прямая параллельна плоскости» и «прямая лежит в плоскости».

Что дальше

• Тетраэдр и параллелепипед. Построение сечений — тетраэдр, параллелепипед и построение сечений.
• Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах — перпендикулярность прямой и плоскости.
• Векторы в пространстве — векторы в пространстве.