Параллельные прямые

Зачем это нужно

Рельсы, края тетради, строки текста, полосы пешеходного перехода — параллельные прямые повсюду. Но как доказать, что две прямые параллельны, если их нельзя продолжить до бесконечности и проверить, что они не пересекаются? Ответ дают признаки параллельности — через углы, которые образуют две прямые с третьей, секущей.

Эта тема — одна из центральных в планиметрии. Из свойств параллельных прямых следует теорема о сумме углов треугольника, свойства параллелограмма и трапеции, подобие треугольников, а в 10 классе — вся стереометрия параллельности.

Определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначение: $a \parallel b$.

Два отрезка (луча) параллельны, если они лежат на параллельных прямых.

Углы при пересечении двух прямых секущей

Пусть прямые $a$ и $b$ пересечены третьей прямой $c$ — секущей. Образуется 8 углов. Некоторые пары имеют названия:

Признаки параллельности

Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей:

1. накрест лежащие углы равны, или
2. соответственные углы равны, или
3. сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Доказательство первого признака (идея). Пусть накрест лежащие углы равны, а прямые всё же пересекаются в точке $M$. Тогда образуется треугольник, и, построив равный ему треугольник по другую сторону секущей, получим вторую точку пересечения прямых. Но две различные прямые не могут иметь две общие точки — противоречие. Значит, прямые параллельны. ∎

Такой способ рассуждения — «предположим противное и придём к противоречию» — называется доказательством от противного.

Второй и третий признаки сводятся к первому с помощью вертикальных и смежных углов.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Это знаменитый пятый постулат Евклида. Его нельзя доказать из остальных аксиом — это выяснил Николай Лобачевский в 1826 году, построив геометрию, в которой через точку проходит много параллельных. Геометрия Лобачевского так же логически безупречна, как и евклидова.

Следствия аксиомы:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то пересекает и другую;
• если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

Свойства параллельных прямых

Это теоремы, обратные признакам. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

1. накрест лежащие углы равны;
2. соответственные углы равны;
3. сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Чем признак отличается от свойства? Признак — «если углы такие-то, то прямые параллельны». Свойство — «если прямые параллельны, то углы такие-то».

Разобранный пример 1

Прямые $a$ и $b$ параллельны, секущая образует с $a$ угол $\angle 1 = 65^\circ$. Найдите все углы.

1. Вертикальный к $\angle 1$ — тоже $65^\circ$; смежные — $115^\circ$.
2. При второй прямой соответственные углы равны: такие же $65^\circ$ и $115^\circ$.
3. Итог: четыре угла по $65^\circ$ и четыре по $115^\circ$.

Разобранный пример 2

Один из односторонних углов при параллельных прямых на $40^\circ$ больше другого. Найдите их.

1. Сумма односторонних $180^\circ$: $x + x + 40^\circ = 180^\circ$, $x = 70^\circ$.
2. Углы $70^\circ$ и $110^\circ$.

Разобранный пример 3

Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей, накрест лежащие углы $\angle 3 = 48^\circ$ и $\angle 5 = 48^\circ$. Параллельны ли прямые?

Да: накрест лежащие углы равны — по первому признаку $a \parallel b$.

Типичные ошибки

• Путать признаки и свойства: использовать «накрест лежащие углы равны» без доказанной параллельности.
• Путать пары углов: называть соответственными углы, лежащие по разные стороны секущей.
• Считать, что односторонние углы равны (они в сумме дают $180^\circ$).
• Думать, что «не пересекаются на рисунке» означает параллельность.
• Забывать, что все утверждения темы относятся к прямым на одной плоскости.

Что дальше

• Сумма углов треугольника. Неравенство треугольника — с помощью свойств параллельных прямых докажем, что сумма углов треугольника $180^\circ$.
• Многоугольники. Параллелограмм и трапеция — параллелограмм и трапеция определяются через параллельные стороны.
• Аксиомы стереометрии и их следствия — в стереометрии появятся скрещивающиеся прямые — не параллельные и не пересекающиеся.