Начальные сведения из стереометрии

Зачем это нужно

До сих пор мы изучали планиметрию — геометрию на плоскости. Но мир трёхмерный: дома, коробки, банки, мячи, пирамиды, цистерны. Раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве, называется стереометрией. Сколько краски нужно на стены комнаты, сколько воды вмещает бассейн, сколько бетона уйдёт на колонну — это задачи на площади поверхностей и объёмы тел. Эта тема — короткий обзор, а подробно стереометрию изучают в 10–11 классах.

Многогранники

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников — граней. Стороны граней — рёбра, концы рёбер — вершины.

Пространственные тела: прямоугольный параллелепипед, четырёхугольная пирамида, цилиндр, конус и шар

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные (боковые) — параллелограммы. Если боковые рёбра перпендикулярны основанию, призма прямая.

Параллелепипед — призма, у которой основание — параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — все грани прямоугольники (коробка, кирпич). Куб — все грани квадраты.

Пирамида — многогранник, одна грань которого (основание) — многоугольник, а остальные — треугольники с общей вершиной.

Формула Эйлера: для любого выпуклого многогранника

$В - Р + Г = 2,$

где $В$ — число вершин, $Р$ — рёбер, $Г$ — граней. Для куба: $8 - 12 + 6 = 2$ .

Тела вращения

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг его стороны (банка, труба).
Конус — вращением прямоугольного треугольника вокруг катета (воронка, рожок мороженого).
Шар — вращением полукруга вокруг диаметра; его поверхность — сфера.

Объёмы и площади поверхностей

Тело	Объём	Площадь поверхности
прямоугольный параллелепипед $a \times b \times c$	$V = abc$	$S = 2(ab + bc + ac)$
куб с ребром $a$	$V = a^3$	$S = 6a^2$
призма	$V = S_{\text{осн}} \cdot h$	—
пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$	—
цилиндр	$V = \pi R^2 h$	$S_{\text{бок}} = 2\pi R h$
конус	$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$	$S_{\text{бок}} = \pi R \ell$
шар	$V = \frac{4}{3}\pi R^3$	$S = 4\pi R^2$

Здесь $h$ — высота, $\ell$ — образующая конуса. Заметьте: объём пирамиды — треть объёма призмы с тем же основанием и высотой, а конуса — треть объёма цилиндра.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ (теорема Пифагора дважды).

Разобранный пример 1

Аквариум имеет размеры $60 \times 30 \times 40$ см. Сколько литров воды он вмещает?

$V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000$ см³ $= 72$ л.

Разобранный пример 2

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда $2 \times 3 \times 6$ .

$d = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ .

Разобранный пример 3

Цилиндрическая кастрюля радиусом 10 см и высотой 20 см. Сколько литров в неё поместится ( $\pi \approx 3{,}14$ )?

$V = 3{,}14 \cdot 100 \cdot 20 = 6280$ см³ $\approx 6{,}3$ л.

Разобранный пример 4

Конусная воронка имеет радиус 6 см и высоту 10 см. Каков её объём ( $\pi \approx 3{,}14$ )?

Объём цилиндра с тем же основанием и высотой: $3{,}14 \cdot 36 \cdot 10 = 1130{,}4$ см³.
Конус — треть: $1130{,}4 : 3 = 376{,}8$ см³ $\approx 0{,}38$ л.

Развёртки

Поверхность многогранника можно «разрезать» по нескольким рёбрам и разложить на плоскости — получится развёртка. Развёртка куба — шесть квадратов, соединённых сторонами (например, «крест»); развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами $2\pi R$ и $h$ , отсюда и формула $S_{\text{бок}} = 2\pi R h$ . Развёртка боковой поверхности конуса — сектор круга радиусом $\ell$ . Через развёртки удобно считать площадь поверхности: это просто сумма площадей плоских фигур, которые мы уже умеем находить.

Подобные тела

Если все размеры тела увеличить в $k$ раз, то площадь поверхности увеличится в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз. Это объясняет многое в природе и технике. Арбуз вдвое большего диаметра весит в 8 раз больше, а кожуры у него лишь в 4 раза больше. Маленькие животные быстро остывают: у них много поверхности на единицу объёма. Поэтому слон не может быть просто «увеличенной мышью» — его ноги должны быть непропорционально толще.

Правильные многогранники

Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Таких многогранников всего пять: тетраэдр (4 треугольные грани), куб (6 квадратов), октаэдр (8 треугольников), додекаэдр (12 пятиугольников) и икосаэдр (20 треугольников). Их называют платоновыми телами. Все они удовлетворяют формуле Эйлера; например, для икосаэдра $12 - 30 + 20 = 2$ .

Немного истории

Формулы объёма пирамиды знали ещё в Древнем Египте, а строго доказал их Евдокс Книдский. Архимед считал своим главным открытием то, что объём шара составляет $\frac{2}{3}$ объёма описанного около него цилиндра, и завещал изобразить шар в цилиндре на своём надгробии. Формулу $В - Р + Г = 2$ опубликовал Леонард Эйлер в 1758 году.

Типичные ошибки

Путать площадь поверхности и объём.
Забывать множитель $\frac{1}{3}$ в формулах пирамиды и конуса.
Переводить единицы объёма как единицы длины: $1$ дм³ $= 1000$ см³, а не 10.
Считать высотой пирамиды её боковое ребро.
Путать сферу (поверхность) и шар (тело).

Что дальше

Аксиомы стереометрии и их следствия — аксиомы стереометрии.
Многогранники — многогранники подробно.
Цилиндр, конус, шар — цилиндр, конус, шар.